586 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La ilifiérence F(x) — P(j") a au moins deux maximums et deux minimums entre 

 ar„ — 2h et x„+ 2/;; de plus deux points corres|)OMdant ii un maximum ■'Ont toujours 

 séparés par un point qui donne un minimum et inversement. A un maxlnium corres- 

 pond une valeur néi;ati\e ou nulle et à un minimum une \aleur positive ou nulle de la 

 dérivée seconde F"{ar) — P"(,r). Donc celle dérivée a au moins un maximum et un 

 minimum à l'intérieur de l'intervalle {.z„ — 2/1, a„-t-3A) et de ce fait joint à notre 

 lemme on conclut aisément notre tliéorème I. 



On a comme cas particulier une généralisation immédiate du théorème 

 de M. Schwarz. 



Toute fonction continue elle-même et admettant une dérivée seconde con- 

 tinue Ç) et une dérivée quatrième généralisée partout nulle est un polynôme de 

 troisième degré. 



De plus des théorèmes analogues peuvent se démontrer pour d'autres 

 dérivées généralisées. 



De notre énoncé on déduit, comme le fait M. Lebesg-ue dans un cas ana- 

 logue, les conséquences suivantes : 



Si, pour les coefficients a„ -H ih„ d'une série de Tavlor la somme 7 — - — ^—^ 



converge et la partie réelle (ou imaginaire) de celte série est sommahle sur son 

 cercle de convergence par la méthode de M. Fejér. la partie réelle (ou imagi- 

 naire) de la série à l'intérieur du cercle reste comprise entre les limites inférieure 

 et supérieure des valeurs prises sur la circonférence. 



Lorsqu'une série tri gonométrique toujours satisfaisante à notre condition (A) 

 est sommahle en tout point de l'intervalle (o, 2-) et y donne une fonction 

 bornée f(x), elle est série de Fourier de la fonction f{x) {la notion d'inté- 

 grale étant prise dans le sens de M. Lebesgue). 



Ce théorème, généralisation du théorème de Duhois-Reymond , comprend 

 comme cas particulier notre généralisation du théorème de M. Cantor. 



Le cas des coeflicients tendant vers zéro, ot'i l'on peut admettre des points 

 exceptionnels, ne comporte aucune dil'liculté, car en tout point ou a 



lim^^A^F(a-) = o. 



(') La fonction égale à œ- pour des valeurs .c^^o et à — x'^ pour des valeurs .r<^o 

 montre très nettement que notre restriction concernant la continuité de la dérivée 

 seconde est nécessaire. 



