6r6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



résultat qu'on obtient en supposant à F(.r) hors de C' des pôles simples a^ 



de résidus A/,. Dans ces conditions F(^j possède des pôles 'C^= ^— tou- 



jours dans T'. De plus/(C) possède dans F" et, par suite, dans F' des pôles 

 simples b'^^ de résidus B^. 



Quant à l'intégrale relative à la couronne F, elle est égale à 



^^■^[a,)a',A.r-a',)' 



le sigma marqué d'un accent n'existant que si ^x : a^ est dans la couronne F. 

 On a finalement une formule qui peut s'écrire 



n = « n — 00 ^ _ — 



-- f(t) (i,{:c — a,) ^ fie) ai,(x~a'^) 



Faisons croître p' jusqu'à ce que F' passe par le point b^ le plus voisin, 

 soit p. Imaginons de plus que H tende vers p sans sortir de la couronne F. 

 Alors les trois derniers sigraas du second membre de la formule précédente 

 sont manifestement nuls. .Je dis que le second sigma du premier membre 

 est nul aussi. Les c',', en effet ne cessent pas de former une série convergente 

 et il en est de même des c'„5'^,, car les /,', sont Unis pour x dans C. Donc 



nzz. o 



^n^n 17/ ..\ V ^/' 



i-2Mî=''(-'-)-5:- 



Reprenons la formule générale et faisons décroître p" jusqu'à ce que F" passe 

 par le point b\ le plus voisin, soit j3', et imaginons que ^ tende vers ^' . Celte 

 fois c'est le premier sigma du premier membre qui est nul. Le troisième et 

 le quatrième du second membre sont nuls; le second se réduit à F(a;), 

 car {\ — b'^}/(l') pour ^ tendant vers è^ = ^' est précisément le résidu B^. 

 Donc 



Finalement 



V ^'" ■^" V A/. 



F(x) = lim"y^+limV$4^- 



