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Je remarque d'abord que de l'équation (i ) on tire 



p{x) r»{.T) -l Jf (û; y) o{y) '/y ^ p{^r) ■ 



(2) pix)r^(.T)-l ¥{.t;r)o{Y)r/y==p(.r)'b{.r), 



OÙ la fonction F(a', y) ^p(a:) pÇy) f(x,Y) esl symétrique en x et y. (Dans 

 celte formule et dans les suivantes les limites a el b des intégrales sont sous- 

 entendues.) 



Ensuite, si A,., A^ sont deux pôles (ou autovaleurs) (Eigenwerte, suivant 

 M. Ililbert) de l'écjuation (i), et (^,.(œ), ?X'^') d^ux aulofonctions corres- 

 pondantes (Eigenfunctionen, suivant M. Hilbcrt), on a 



p{u-)o,.{^r) — }., / F{x, y)'i,.{y)'ly = 0, 



d'où, multipliant ces équations respectivement par A, Os{pL')dx et A,. i^r(^)dx, 

 puis intégrant et retranchant, 



{l,.— l,)fp{x)o,.{r)Os{r) d.v = o, 



donc, si Xr est dij/'érent de "A„ 



/ p{x)(^,.{a:) -fs(.r) dx = o. 



De cette égalité on déduit que les pôles sont réels; car, dans le cas con- 

 traire, en prenant les pôles (imaginaires conjugués) 



>,,.= « + ('(3, Aj=:5( — /■S, 



et les autofonctions correspondantes (nécessairement conjuguées) 



Ori-X) = o' + «9" 9* (■■'') = 9'— «9", 



ne serait plus viTiliée l'égalité précédente. 



L'existence effective des pôles peut être prouvée par une méthode ana- 

 logue à celle employée, par exemple, par M. Kneser, dans le cas où 

 P(y) = i (/{endico/ili del Circolu matemattco di Palenno^ l. XXII, 1906). 



