SÉANCE DU l4 OCTOBRE 1907. 62 1 



2. Il est facile de voir que tes pôles sont simples ( " ). 



Supposons, en effet, que X = Â„ soit un pôle d'ordre to(//z>i) de la 

 solution de l'équation (i); on aura 



donc, en substituant dans l'égalité (2), 



pu + (>, - >.„)y9r -f- . . . - ), Tf. [h + (>. - >,„)i' + . . .] f(v = (X - ^o)"'iPl^> 



et dérivant par rapport à X : 



(3) ;_„. + ...-X Tf. ((• + ... )<v-^F.[« + ("A- X„) (■ + ... ]c(x=m(A- X„)"'->.]>. 



Si l'on pose À = A„, on lire de' ces deux éijuations 



(4) p{x)u{x) — ').,J¥{x,Y)"{y)dy = o, 



(5) p{x) v{.r) -X, fv{x,y) v(y) (ly = j V{.r,y) u{y) dy ^ j^pix) u{x). 



Multipliant ensuite l'équation {\) par v{-v)dx, l'équation (5) par u{x)dx, 

 puis intégrant et retranchant, on a 



Jp(x)[u{x)Y-(Lr=o. 



La fonction u devrait donc être identiquement nulle, ce qui est absurde. 

 Notre théorème est complètement démontn''. 



De l'égalité (3) il résulte que le calcul précédent ne s'applique pas 

 à TO = I. 



11 est bon de remarquer que le pôle A = A» peut être racine multiple 

 d'ordre quelconque pour le déterminant de l'équation (i), tandis que pour 

 la fonction '^(.t) il est nécessairement un pùlc simple. 



Le théorème analogue pour les systèmes d'équations linéaires algébriques 



(') Comparer celte déraonstralion avec celle que donne M. Picard dans le cas parti- 

 culier des membranes élastiques dans le paragraphe 20 de son Mémoire des Reiidiconti 

 di Palermo (1906) : Sur quelques applicalioiis de l'équation fonctionnelle de 

 Fredholm. 



