SÉANCE DU 21 OCTOBRE 1907. 655 



veloppement est /|0-A, (''tant posé 



v-o 



où F(n) est le nombre des classes de formes de l'ordre propre ayant pour 

 discrimant n. Le calcul direct du terme constant dans la multiplication indi- 

 quée ci-dessus donne 



N = 



la dernière somme s'étendant à celles des solutions entières m, a, p de 



l'équation 



4N -H 3 = 4"i-— (2p. — 1)'+ 8wp, ^ 



qui vérifient les inégalités m^i, p = o, l'SiJ.lm. 



Le calcul de la somme en question s'efi'eclue sans trop de difficultés; on 

 trouve ainsi 



^-» I ^^ -lm,-ll 



OÙ la dernière somme s'étend aux classes propres de discriminani '(N H- 3; 

 «î, et m„ (m, S m.,) sont les deux minima impairs d'une quelconque de ces 

 classes. De là résulte immédiatement la relation 



(1) ^V{!,'^ + ?,-[^^J)(-^)\n'J)='-{-^fy^{m,-m,){-^) 



('",-!) 



Au premier membre, la somme porte sur les valeurs entières de v, à 

 partir de v = o, telles que 4N + 3 — 4v soit positif; /(v) désigne le nombre 

 de représentations de v par la forme x^ +y', c'est-à-dire 



,1 1 



/■(v)=4y(-i) ' , 



d désignant tout diviseur impair de v; fi^o) = i. 



Si l'on utilise l'expression de AO trouvée par Hermite (Lellreà Liomitle)^ 

 on peut écrire ( i), en désignant par '|(«) la somme des diviseurs de n infé- 

 rieurs à \/«, 



(2) i^(,„^_,„,)(_,y2"" '^2^(4N + 3-/i^-^), 



.|o 



