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a- prenant, au second membre, les valeurs entières, positives ou négatives, 



telles que i^ + 3 — 4^" soit positif. 



En opérant de même sur yi;9,0HH, :0- el O,0,H: H,, on obtiendrait 

 l'expression de Atj, 0, ce qui conduit à la formule 



(3) y^Fif,^-'rJ-i){-ir'/(^^J + ^)^^m{-i)~^' . 



La somme, au second membre, s'étend cette fois aux classes propres de 

 discriminant 4N; w, et m.,{m^2rn^) sont encore les deux minima impairs, 

 m est le minimum pair d'une quelconque de ces classes. 



(3n peut écrire aussi 



tu, -+- rn^ + i 



(4) V/«(-.) '■ =4(-i)^-'21'H'tM-(2-^ + 0^]. 



■' =0 



Les formules (3) et(4) sont intéressantes en ce qu'elles donnent l'expres- 

 sion, à l'aide de la seule fonction ■];, des sommes algébriques de minima qui 

 figurent à leurs premiers membres. 



2. On obtient, d'une autre manière, des fornmles analogues à (i) et (3), 

 mais où la fonction /(v) est remplacée par une partie de fonction. 



A cet effet, calculons le terme constant A", dans le développement trigo- 

 nométrique de -/j'^O, OH'^H- : 0' ; il suffit de faire le produit des développe- 

 ments de r,;^, OH, II : 0- et de rj, H, H ; 0, et l'on trouve, après une discus- 

 sion relativement simple, 



la dernière somme portant sur les classes propres de discriminant 8.N — i, 

 et m,, m2(m,^m.,) étant les deux minima impairs d'une telle classe. 



D'autre part, si l'on effectue le produit des développements de 

 Yj^6,H-H, :0- et de y],6H, :0, et si l'on compare au résultat précédent, on 

 arrive, en examinant les cas de N pair ou impair, à deux formules distinctes. 

 D'abord : 



(5) i(3yi< 



8M4-3 — (4v + 3) 



//;.. — /"i — 2 



(— ir'5(4v+3)=> (7^(,H-Wo— W:)(— I) 



Au premier membre, 6(4v + 3) est la somme ^(- i) ' étendue, non 



