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cette équation correspond au moins une fonction o,(-i'), autre que ip, = o, 



vérifiant la relation 



(3) <r>,(jr) + \ f K{j:,s)(ç>ds)(^s=^o- 



Le théorème de M. Fredholm peut être complété comme il suit. A la 

 fonction (?,(j?), solution de l'équation (3), adjoignons une autre fonc- 

 tion T, (œ) telle que l'on ait 



(4) ! + >']/ Oi{s)r.,is)ds = o, 



et posons 



(5) K{ X, y) = k, ( j-, y) + o,{.r) tt, {y) ; 



soit L0,(X) la fonction entière déduite du noyau ¥^,{x,y) comme (ô(a) se 

 déduit de K(a;, y). Au moyen des formules (3), (; 4) et (5), on démontre 

 facilement que l'on a entre (ô(X) et lO, (X) la relation ( ' ) 



(6) CD()0 = ^O.(>.)(i-^ 



Cette proposition a de nombreuses applications dans la théorie des équa- 

 tions intégrales. J'énoncerai seulement les résultats suivants, relatifs aux 

 fonctions fondamentales. 



I. Soient K(a;, r) un noyau quelconque, non symétrique en x et y, et 

 X, une racine multiple d'ordre ri de (D(X) = o. A celte racine X, corres- 

 pondent « fonctions linéairement distinctes 9,, jp., ..., 9,,, telles que l'on 

 ait 



(7) '1 Sk03=«31?I + =<32?2 + ?3> 



Sk 9« = ^-« 1 9i + a„2 92 -H . . . -+- 0,n 

 en posant, pour abréger, 



SK9(a:)— ->,, C K{T,s)o{s)ds, 

 •- 



et les coefficients a,^. étant des constantes. Le nombre des fonctions fonda- 



(') L'énoncé doit être modifié pour un noyau non borné. 



