SÉANCE DU 21 OCTOJîHE 1907. 671 



verses hianclics (') (ruiic mrme iiilrgralc qui ]>iTiiiiileiil entre elles au 

 voisinai^e de riiifini et j'ai tenté créludicr la croissance et, plus générale- 

 ment, l'allure de ces branches lorsque >r varie (^Comptes rendus. i<S février et 

 1*"^ juillet 1907). 



En premier lieu, j'ai considéré le cas où A„ et A, sont nuls et j'ai dit 

 que ce cas était caractérisé par les circonstances suivantes : Si le module de 

 la valeur initiale r„(.r|,) est assez grand, la branche d'intégrale (i) que dé- 

 finit cette râleur [ÎSot(^ 1 1 présente une pluniliié finie de points critiques dont 

 le nombre est déterminé par les degrés des polynômes A. et A.,. 



J'ai vériiié cet énoncé dans l'hypothèse ou les degrés m.^ et ^3 des poly- 

 nômes Ao et A3 satisfont à l'inégalité /Wj^am^ -1-2. J'étudierai (-) dans la pré- 

 sente Note le cas : m^'^im.,. [Resterait à traiter le cas-limite : m., = 2OTo + i]. 



L'écjuation (i), où l'on fait Ap = A, = o, peut s'écrire 



(2) y = -'', zz'=k.,z + S} 

 ou, en posant P(.r)^ / A;,c?.r, 



"0 



(3) z = V+B, 0'^--^. 



Je supposerai, pour simplifier, que les termes de plus haut degré de A3 

 et P (termes en x'"' et a;'"-"^*) ont pour coefficients i. 



Cela posé, considérons un cercle S de centre O dont le rayon r sera dé- 

 terminé par diverses conditions posées au cours de la démonstration. Nous 

 étudierons la branche d'intégrale qui, en un point donné x„ extérieur à S, 



(') Désignant par caractéristique toute braiiciie d'intégrale suivie à partir d'une 

 valeur initiale donnée le long d'un chemin rectiiigne, j'appelle braïuhe d'iiilégrale 

 (au sens restreint) l'ensemble des caractéristiques issues d'un point initial lixe ^0 avec 

 une valeur initiale déterminée jn. Au sens large, une branche (Vintrgrale est une 



brandie suivie le long d'un chemin direct quelconque ( par délinitioii, si .r et x' 



a rc X oc' 



sont deux points d'un cliemin direct, le rapport est inférieur à lui nombre k 



coi'de ce œ' 



fixé une fois pour toutes). 



(-) J'ai développé celte étude et celle du cas précédent dans des Leçons sur les 

 fonctions de jinies par des équations différcnlicllcs du premier ordre qui vont pa- 

 raître prochainement dans la Colleclion de monographies sur ta tlicorie des fonc- 

 tions dirigée par M. Borel. 



