672 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



prend une râleur initiale que je désignerai par C"'="^' el (pie je supposerai plus 

 grande que ar'"-"^' . 



Tout d'ahord, nous prendrons r assez grand pour que Ion ait, en tout 

 point X extérieur à S, 



_1 —1 



et, à l'intérieur de S, 



|P|<h-)-r '-yr"'.+', |A3|<li + /- V'""'- 



Suivons alors à partir de a;„. 



I. En premier lieu, je considère la branche à l'intérieur d'un cerclé Z 



ayant pour centre l'origine et pour rayon r"'"'^'^ | ( 1 1. 

 L'équation algébrique 



(4) P(^) + C"'.+' = o, 



a W.+ I racines qui, si r est assez grand, sont respectivement voisines des 



m. -h I zéros dea;"'="^' + C"'="^'. Plus précisément, entourons chacun de ces 



1 

 nr, -+- 1 zéros d'un cercle c de rayon p — 'ir ^ | C |. Les racines de ( '1) seront 

 intérieures aux cercles c. 



Dans ces conditions, je parviens à l'énoncé suivant : 



Appelons 0„ la valeur initiale de en x„ (6„ = C'" +' ). Ou peut choisir r 

 assez, grand pour que. le long de tout chemin direct ( ' ) intérieur ci il et exté- 

 rieur aux cercles c, la branche Z soit donnée jxtr l'égalité 



(5) z=?{x)^%{i + y), iy|</"i 



IL Suivons maintenant la branche ; à l'extérieur du cercle S. Je constate 

 que, lorsque x s'éloigne indéfiniment sur un chemin direct., la branche d'inté- 

 grale z est donnée par l'égalité 



(6) ^ = (n-7)P(^) + 0.„ 



j 

 où l'on a I Y I < I a- 1 "si /• est assez grand. 



Les formules ( .5) et (6) doimenl, on le voit, pour tous les points du plan 



extérieiirs aux cercles c, une valeur approchée de la branche d'intégrale z 



(issue de ic„ avec la valeur initiale P -+- Oo). 



C) Voir plus haut, la Note i. 



