SÉANCE DU 28 OCTOliKE KJO;. 709 



feuilliH, S'j, osl relIA au précédent suivant inic lii^iii- dn rroisoment passant 

 par un point critique unique. Dans le cas où le feuillet Sj contiendiait des 

 points critiques permettant de déduire de ;, un nombre y?m de détermina- 

 tions nouvelles, je dirais encore que ^ , est de première espèce. 



Cela posé, on peut démontrer ceci : (oui point transcendant de l'in- 

 verse z(Y) d'une fonction entière ou mèromorphe \ (s) est un point de pre- 

 mière espèce. 



Introduisons maintenant dans Y(;) des paramètres variables, paramètres 

 dontles coefficients de Y seront des fonctions holomorphes. En faisant varier 

 ces paramètres, nous pouvons déplacer avec continuité les points critiques 

 transcendants de :;; en particulier nous pouvons amener plusieurs de ces 

 points à coïncider et leur appliquer ensuite le théorème précédent. D'où 

 l'idée d'élargir ce théorème afin d'en tirer une propriété caractérisant l'en- 

 semble total des d(''terminalions de :-(Y) [et non plus seulement l'ensemble 

 des déterminations qui se permutent au roisinage d'un point transcendant 

 isolè\. On obtient ainsi, dans le cas des fondions entières, l'énoncé suivant : 



Quelle que soit la fonction entière ^ ( s ), on saura décomposer le plan 

 des ; en une série de régions contiguës, Si, — séparées par des lignes conti- 

 nues qui vont de l'infini à l'infini et ne se coupent ni elles-mêmes ni entre 

 elles, — en sorte que, dans l'une quelconque de ces régions, Y ne prenne 

 qu'un nombre limité de fois (nombre inférieur à un nombre donné) une 

 valeur donnée quelconque. A l'exception de certaines régions exception- 

 nelles (régions-raccords), chaque région A sera limitée par deux lignes 

 frontières seulement. (Les régions Si. joueiil le même rôle que jouaient, 

 dans la définition des points de première espèce, les feuillets de la surface 

 de Riemann.) 



l^oiir éludiei- en détail la forme et la délimitation des régions Si, on devrait distin- 

 guer de nombreux cas. Conlentons-nous d'en signaler un, à litre d'exemple : celui où 

 la fonction ;(Y) ne présente, en fait de points critiques transcendants, que des points 

 direclement critiques isolés (points logarithmiques, dit M. Denjoy, qui vise précisément 

 ces points dans son théorème). Appelant Y, l'un de ces points, considérons, dans le 

 plan des ;, un chemin coiuinu r/ s'éloignant indéfiniment et sur lequel Y tende vers Y, : 

 il existera sûrement une infinité d'autres chemins (/, contigus au premier, et jouissant 

 delà même propriété; l'ensemble de ces chemins constitue une sorte de bande on 

 langue continue, i^j, qui s'éloigne vers l'infini el ^ur laquelle Y tend vers Y,. Suppo- 

 sons figurées l'ensemble des langues '^ que l'on peut ainsi obtenir dans le plan des z\ 

 sur certaines langues, Y tendia vers l'infini; sur d'autres, Y pourra tendre vers d'autres 

 valeurs; de plus, deux langues contiguës quelconques, 4^,-, 4^,-1-,, seront toujours sépa- 

 rées par une bande J^', (qui est d'ailleurs infiniment mince par rap|)ort à elles) sur 

 laquelle Y restera indéterminée (on pourrait appeler j^^ une /«/ii.'-wff^/e c/'m^/e^e/v/H- 

 iiation). Cela posé, si l'on désigne par J^,, .Ç^^., deux langues contiguës quelconques. 



