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njo'j), et sur Icsijiielles nous revenons aujourd'hui pour les compléter. 



1" Pour les sept pn'//iiers Ivpes, les images sont des surfaces de genre géo- 

 mélrvjue zéro et de genre arilh nié tique — i, poss(''dant un faisceau elli])lique 

 de courJjcs elliptiques. Réciproqueuienl, toute surface do genre zéro possé- 

 dant un tel faisceau est l'image d'une involulion de l'un des sept premiers 

 types. 



Deux seulement des surfaces images équivalent à des plans doubles, 

 c'est-à-dire à des surfaces z^ ^= 'j'(«, y). Les courbes de diramation, '\i = o, 

 sont alors les suivantes, à une transformation (Iremona près : 



a. Quatre droites concourant en un point < >, et deux cubiques tpiel- 

 conques, appartenant au faisceau dont une première courbe est formée par 

 les trois premières droites, et une seconde par la (piatrième droite jointe à 

 une droite double arbitraire, ne passant pas par ( ). 



b. Une conique, les six côtés d'un quadrangle inscrit, et une courbe du 

 sixième ordre avant poni' points doubles les sommets et les points diago- 

 naux du quadrangle, ayant en outre un tacnode en un des points communs 

 à une diagonale et à la conique, avec la tangente en ce point à la conique 

 pour tangente tacnodale. 



Les surfaces images des cinq autres types se définissent aisément par leurs 

 équations. 



■2" Les trois types snivnnts ont pour images des surfaces régulières de genre 

 zéro et de bigenre un, écjuiK'alenles à des plans doubles. 



La courbe de diramation se caractérise simplement dans chaque cas. Par 

 exemple, pour lui des Ivpes, c'est l'ensemble de deux coniques bitangentes, 

 de leurs tangentes communes et de deux droites issues du point de concours 

 de celles-ci. Pour un autre type, c'est l'ensemble de deux couples de droites, 

 d'une conique jiassantpar les quatre points (distincts) communs à ces deux 

 couples, et d'une quartique contenant ces <piatrc points, et ayant pour 

 points doubles les points diagonaux du quadrangle. 



3° Les ringt types restants ont pour images des surfaces régulières de 

 genre un. 



L'image du prena'er type est la surface bien connue sur laquelle à un même 

 point correspoudrul les couples d'arguments u, r et — u, — c; cette surface 

 équivaut, dans tous les cas, à «ne surface d'ordre fiualrc, à douze points 

 doubles au moins, liés à une certaine configuration de courbes rationnelles. 



Les dix-neuf derniers types d'im'olutions ne peuccnl exister que sur des sur- 

 faces hyperellipticjucs S doublement ou tripli-mviit singulières. 



