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Il a tr(iuv(' (|uc les fonctions V qu'il Ap^wWi- Jo/ir/ions adjointes doivent 

 satisfaire aux équations 



. X(Y,) = Y(X,) 



Kn nièuie lenqjs, M. de Donder et enfin M. Saltykov ont retrouvé des 

 résultats de M. Buhl à l'occasion d'autres recherches (^'). 



M. Appell, en employant la méthode de Liouville,a déduit inversement 

 le théorème de M. Buhl du théorème de Poisson ('). 



On remarquera que les fonctions adjointes de M. Buhl ne sont autres que 

 les coefficients des équations aux variations de M. Poincaré, qui jouent un 

 si grand rôle dans la formation des invariants intéi;raux (•'). 



Aux résultats trouvés par M. Buhl j'ai à ajouter les observations sui- 

 vantes : 



1° Les équations (i) ne donnent pas la solution la plus générale du pro- 

 blème. 



En effet, formons l'expression 



XY(4.)-YX(<I.)=V[X(Y,)-Y(\,,.)]^- 



Pour que <1> et Y($) soient en même temps une intégrale de X, il n'est 



pas l)esoin que l'équation du second membre soil identiquement nulle. Il 



suffit que Ion ail 



XY(<1»)- YX(4>)=>X(<I)). 



Ce qui nous donne pour Y, , . . ., Y„ les équations 



(2) X(Y,.)-Y{X,)z=>,X,. 



2° Il était utile de constater la présence de ces équations plus générales (2) 

 auxquelles satisfont les fonctions Y, ; car, si les formes les plus générales Y(<I>) 

 qui transforment les unes dans les autres les intégrales d'une équation X($) 

 doivent être en involution avec celle-ci [d'après les équations (i)], alors il 



(') Sur les invariants intégraux (Circolo mateniatico di Palermo, 1901 et 1902); 

 Sur les transformations injinilésimales (Journal de Mathématiques, igoS). 



(2) Un nouveau théorème de M. Buhl et le théorème de Poisson ( Comptes rendus, 

 août 1901). 



(') Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (l. I el 111). 



