SÉANCE DU 4 NOVEMBRE 1907. 753 



et soient D"( X) et H"(-i',.>'; a; les fonctions de Fredholm corres|)i>ndanles. 

 Entre les six fonctions D, D', D", H, H', II " on a les deux relations 



(3) D"(-A) = D(>>)xrya), 



H"(.r,y;X) _ H(.r,jr /.) , H'(,r,y;?.) . 

 (^) D"(>.) ~ D(/,) ''' P'(X) ' 



on pent même observer ([ue la relation (3) a lieu pourvu seulement que 

 l'une ou l'autre des relations (i) et (2) soit vérifiée. 



La formule ('1) permet de trouver la partie principale de la fonction 

 V{{x, y\l) ^^^_^^ j^ voisinage d'une racine A, du dénominateur. Soit A, une 



racine d'ordre n de l'équation D(X) = <); -i,, Ço, •••' ?«i '}i5 Y-m ••■) ?« *-'la'"- 

 les fonctions définies dans ma Note précédente, posons 



K(j-, y) — V{x, y) + K„(x, y). 



Il résulte des théorèmes que j'ai énoncés (jue les deux noyaux F(.r, y) et 

 K„(<r,,v)sont en involution. Soient A(.Ji;, v; X) et H„(a;, v, X) les fonctions 

 résolvantes qui correspondent <à ces noyaux. La formule {f\) nous donne 

 dans ce cas 



i{{x,y;l) _ h{x,y;l) ll„(-r, j; >.) 

 D(X) - /,_ ly J^''^^) ' 



le dénominateur D„(X) étant égal au quotient 



D(A) 



La partie principale est donc égale au premier terme 



/t (x,/;X) 



car le numérateur est un polynôme en X de degré n — i au plus. Inverse- 

 ment, connaissant cette partie principale, on pourra en déduire les fonc- 

 tions ç, et 'l^t- Je signalerai seulement le résultat suivant relatif à l'ordre du 

 pôle. S'il existe /j fonctions fondamentales distinctes, solutions de l'équation 



f{x) + \ f K(x.s)f{s)ds — o, 



