790 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les solutions périodiques de l'équation. 



A (/ -\-\a.{x, y, s) M =: o. 

 Note de M. A. Myi.ler, présentée par M. Appell. 



Dans un article publié dans le Tome XXII des Rendiconli del Circolo ma- 

 tematico di Palermo, M. P. Appell a construit une fonction triplement pé- 

 riodique C(^) y, -) possédant les propriétés suivantes : 



1° C(— -y, — y> — 2) = Ç(-ï^, y, •=); 



I ^{jr + a, y+b, z-^c) z='Z{x,y,z), 



2" lt,{x + a',y + b\z + c')—^{x,y,z), 



\ ti{x-^a",y+b\z + c"):=l.{x,y, z)\ 



D désignant le volume du parallélépipède P construit sur les droites joi- 

 gnant l'origine aux points de coordonnées (a, b, c), (a, h', c'), (a", b", c"). 



4° La fonction u admet pour pôles de résidu -f- i les points homologues 

 de l'origine dans le réseau des parallélépipèdes admettant P comme paral- 

 lélépipède fondamental. 



Je me propose de montrer l'usage qu'on peut faire de cette fonction 

 dans l'étude des solutions continues triplement périodiques de l'équation : 



(i) Am + >.«(x, y, z) = o 



OÙ 'x.{x,y, z) est une fonction continue, positive, triplement périodique 

 et A un paramètre. 



Soient x\ j', z' les coordonnées d'un point fixe à l'intérieur du parallélé- 

 pipède P. Formons une fonction '(«(a;,/, s; x',y\ z') qui possède les mêmes 

 propriétés que t{x — x\ y—f, z — z') avec la seule différence qu'elle 

 satisfait à l'équation 



(2) Au=^!x(x,y, z) \a = j j jc({x,y,z)dxdy(h 



L ^Pi 



A 



au lieu de satisfaire k Au = \r- comme le fait. 'C(x — x', y — y', z — z'). 



4£ 

 D 

 Cherchons d'abord une solution continue triplement périodique de 



