SÉANCE DU 23 NOVEMBRE 1907. 907 



Cette infinité pouvant, dans certains cas, se réduire même à zéro, comme 

 le montre l'exemple de l'équation de Voltorra, qui peut être envisagée 

 comme une équation de Fredholm et pour laquelle D(X) = i , il est utile de 

 trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il n'en soit pas 



amsi. 



Le meilleur renseignement sur la densité des zéros d'une fonction entière 

 est donné par son ordre. A ce sujet, on peut démontrer le résultat suivant : 

 Étant donnée l'équation de Fredholm 



!p(.r)+>. r /(.r,5)v(.v)rf5 = F(x), 



si la fonction f{ .r, s) est quelconque et bornée dans l'inlerKaltc (d>, l'ordre de 

 la fonction entière D(X) en X est au plus égal à dewr. Pour que la fonc- 

 tion D(À) n'ait aucune racine, il faut et il suffit que 



A„= o, 

 pour n '^ 1, en posant 



k,— f f(s,s,)ds^ et A-„= / f{sv^i)f{s-zS,) . . . /{s„s,) d(s,s, . . . *■„), 



^2= / /iSi-'<2)/(s,Si)d(s^s^). 



Un théorème démontré par M. E. Schmidt, à l'aide d'un algorithme dû 

 à Schwarz, sur l'existence d'une racine au moins de D(A) dans le cas du 

 noyau symétrique est une conséquence immédiate du résultat précédent. 



Tl peut être étendu à des noyaux bornés quelconques pouvant présenter, 

 dans le carré ( «è, ab), un nombre fini de discontinuités quelconques et y 

 gardant le même signe. Un grand nombre do noyaux rentrent dans cette der- 

 nière catégorie ('). 



Si la fonction f(.r, s) est dérii'able en s, ou seulement satisfait à la condi- 

 tion de Lipschitz par rapport à cette variable dans le carré défini précédem- 

 ment, l'ordre de la fonction D(Â) est plus petit que i . 



Dans ce cas, la fonction D(X) aura donc une infinité de racines dans le 

 cas général, c'est-à-dire si elle ne se réduit pas à un polynôme. 



(') Voir, par exemple, ma Noie ; Sur les solalions périodiques des eif nations dijfé- 

 renlicdlrs linrnires {Comptes rendus, mars 1907). 



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