9oH ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur (/ue/qt/es poi/its de la théorie des fonctions 

 fondamentales relatives à certaines équations i/ilégrales. Note de M. Bkyon 

 Hevwood, présentée par M. Emile Picard. 



La Note suivante s'applique à toute fonction, K(s,/), réelle ou complexe, 

 qui puisse servir comme noyau d'une équation fonctionnelle de Fredliolm, 

 et à tout chemin d'intégration. 



Soient K,(.v, t), 'K.îÇs, t) deux noyaux orthogonaux, c'est-à-dire qui 

 satisfont aux équations 



fK,{s,x)K,{-,t)di:-iK,{-,l)W,{s,z)d- = o. 



1° Le déterminant de K(5, t) = K,(;y, t) + K.(i, /) est le produit des 

 déterminants de Iv,(.y, t) et de RaÇ*, /). 



3° Les solutions de l'équation sans second membre 



cp(A-) + Oi I K(s, t) '^{l)dl = o 



se composent de l'ensemble de toutes les solutions des deux équations 



9i(*')-H(3rK.(.v, 0<p.(0''<=o, 



?-2 (•*) + y i^i{s, t) Oj ( l ) dt = o. 



Soit maintenant K(*, /) un noyau quelconque, dont la résolvante est 

 K(j, t, \). Au voisinage d'une constante caractéristique A,, on a 



= -/.i(<, t,l)^Vf,{s,t,l). 



J'appelle la fonction ■/ ,(^, /, A) la partie fondcunentale de K(i, /, A) rela- 

 tive à A,. La partie correspondante de Iv(5, /) est 



■_ ,, ., 9r{s,t) y,-i(6-, , Vi(^.0 . 



Aj A| A, 



Je' trouve les résultats suivants : 



3° Les parties fondamentales du noyau relatives à deux constantes 

 caractéristiques sont orthogonales. 



