SÉANCE DU 2.5 NOVEMBRE 1907. 909 



4" Si p représente le degré de multiplicité du zéro X,, du détermi- 

 nant D(X), et si q représente le nombre de solutions indépendantes de 

 l'équation de Fredholm sans second membre pour "A — A,, on a 



5° La fonction 9, (*, s'exprime ainsi : 

 Les fonction? 



constituent un système hiorthogonal, c'esl-à-dirc, on a 



?|x{-«)'|v(«)* = o si [xiz^v, =1 si \x — -^. 



h 



Je les appelle jonctions fondamentales. 



Les fonctions fondamentales relatives à l'ensemble des constantes carac- 

 téristiques forment un même système biortliogonal. 



6» Les fonctions ^2(^,0' T^iC^'O? •••' ?r(*) ^0"^ ^^'^ fonctions li- 

 néaires des 9(i(^) et des '■]^v(0- 



Si l'on écrit 



le déterminant || a^,, |1 est égal à l'unité. 



7° Les q solutions de l'équation de Frcdliolm sans second membre pour 

 X = X, sont des fonctions linéaires de 9,(5), cpsC*); • ■•■, ?/-(*) (')• 



8° Les fonctions fondamentales sont continues, pourvu qu'il se trouve 

 une fonction continue parmi les noyaux réitérés. 



M. Hilberl définit le noyau fermé dans le cas symétrique par la condi- 

 tion suivante : 



Il n'existe pas une fonction continue, /(i), telle que l'intégrale 



^ ^L{s,t)f{l)dt 

 soit identiquement nulle. 



/■ 



(') Quelques-uns des résultais précédents ont été communiqués à l'Académie par 

 M. Goursat dans les séances des 21 octobre et 4 novembre derniers, mais je dois 

 déclarer que M. Hejwood m'avait à la fin du mois de juin remis son Mémoire, que 

 diverses circonstances m'ont empêché de lire. (Noie de M. Emile Picard.) 



