SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. 91I 



cherches sur les lonctions multiformes à une infinité de branches et leurs 

 fonctions limites ('); ces points, qu'il appelle points limites des points d'in- 

 tei'section des branches de la fonction multiforme, sont ceux où la fonction 

 limite peut présenter des singularités. 



J'ai démontré (-)que, dans le voisinage d'un point irrégulier z„, il y a une 

 infinité de fonctions /"«(s) qui s'approchent autant qu'on le veut, en argu- 

 ment et en module, d'une valeur arbitraire a, finie ou infinie; d'une manière 

 plus précise, il y a des valeurs de z, aussi voisines qu'on le veut de s„, et des 



valeurs den, aussi grandes qu'on le veut, pour lesquelles |y„ (s) — a | ( ou r-r^' 



\f,.\ 



si a = co 1 est inférieur à £ arbitrairement petit ou pour lesquelles l'argu- 

 ment de /„(;) — a diffère de moins de £ d'une valeur quelconque. Voici 

 maintenant quelques propriétés nouvelles : 

 Si Sj est un point irrégulier, les équations 



ont une infinité (') de racines dans le voisinage de z^, pour toute valeur finie 

 de a, sauf, peut-être, pour une valeur exce])iionnelle; en d'autres termes : 

 s'il existe deux- nombres a et b tels que les équations 



(1) M^) = a, M--)^b 



aient un nombre fini i^") de racines autour d'un point z^, ce point est régulier. 

 Dans ce cas, les écpialious 



/«( = ) = !'(-.) 



ont seules une infinité de racines dans le voisinage de z^. 



S'il e.riste deux nombres a et b tels que tes équations (I) aient, autour de ;„, 

 et pour chaque valeur de n, un nombre de racines qui reste borné quel que 

 soit n, le point s„ est régulier. 



D'ailleurs, si le nombre des racines reste borné pour l'une des équations 



(') P. BouTRoux, Sur tes fonctions limites des fondions multiformes {Rendiconli 

 del Circolo matematico di Palernio, l. XXIV, 2" sem, 1907). 



(') Loc. cil. 



(') Il faut entendre' par là que le nombre des racines de f„(:.)z= a voisines de Zo 

 croît indéfiniment avec n. 



(*) Il faut entendre par là que le nombre de ces racines reste inférieur à un nombre 

 fixe. 



