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el au^menlc iiulériiiiiiieiH avec n pour l'autre, le point ;„ peut être irré- 

 ^ulier. 



On peut, dans les propositions précédentes, remplacer a et h par des 

 polynômes ou des fonctions holomorphes quelconcjues. Autour d'un point 

 irrég'ulier j,,, les équations 



où cp(3) est une fonction holomorphe en z^ et arbitraire, ont une infinité de 

 racines, sauf, peut-être, pour une fonction 9(-) exceptionnelle. 



Si Ton prend pour o(s) une des fonctions //,(^) delà suite, on voit cju'un 

 point irrégulier ;„ est un point limite des points d'intersection de /"/, avec les 

 autres /„. Réciproquement, si s„ est un point limite des points d'intersec- 

 tion des /„ avec deux fonctions f^ el/^, c'est un point irrégulier. 



Prenons comme exemple une série de Taylor dont D est le cercle de con- 

 vergence et soit ,/„(^) Ja somme des n premiers termes de la série. Autour 

 de chaque point ;,, de la circonférence, les équations ,/„(=) ^« ont, quel 

 que soit a (sauf, peut-être, pour une valeur exceptionnelle unique) une 

 infinité de racines, le nombre des racines de chaque équation croissant indé- 

 finiment avec n. S'il y a une infinité de /„(:•) qui possèdent deux valeurs 

 exceptionnelles, le point ^^ n'est pas singulier et la fonction peut être pro- 

 longée au delà de -„ et représentée dans le nouveau domaine par une série 

 obtenue en groupant convenablement des termes consécutifs de la série de 

 Taylor. Cette remarque résulte du théorème suivant : 



Si, d'une suite convergente de fonctions lioloruorphes . on peut extraire une 

 suite nouvelle^ ayant en ;„ deux trdeuis exceplionnelles, la fonction limite est 

 holomorphe en :„. 



Les propriétés précédentes demeurent vraies pour des séries de fonctions 

 analytiques à un nombre quelconque de variables. On en déduit, en parti- 

 culier, la proposition suivante, dont une partie a déjà été établie par 

 M. Yitali, dans le cas d'une seule variable, au moyen de la fonction mo- 

 dulaire ( ' ) : Si des fonctions, holomorphes dans un domaine D où elles ne 

 prennent ni la valeur o, ni la valeur i, convergent à l'intérieur de D vers 

 une fonction F(s), la convergence est uniforme et, par conséquent, F(:;) 

 est holomorphe. 



Les résultats énoncés dans cette Note peuvent être étendus à des fonc- 

 tions harmoniques d'un nombre quelconque de variables. 



(') G. ViTALi, Sopra le série di fiinzloni anali/ic/ie (Annali di Malctnallca, 

 3" série, t. X, p. 65). 



