SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. gïS 



On déduit de ce qui pi'c'crde (ju'une famille de fonctions analyti(|ues ou 

 harmoniques, d'un nondire quelconque de variables, ne prenant dans un 

 domaine où elles sont continues, ni la valeur o, ni la valeur i, est une famille 

 également continue : de toute suite infinie de ces fonctions, on peut extraire 

 une suite nouvelle convergeant uniformément vers une fonction limite; 

 toute suite infinie, convergente, converge uniformément. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques propriétés des intégrales passant 

 par un point singulier d'une équation différentielle. Note de M. H. Dri.AC, 

 présentée par M. P. Painlevé. 



Lorsqu'on étudie les intégrales y(a7) de Féquation 



(i) {x ^...)dy -^- (\y + . ..)dx=o 



qui tendent vers o avec .r, on reconnaît facilement que, dans beaucoup de 

 cas, suivant la façon dont x tend vers o, le rapport t = y:.r tend ou non 

 vers une limite. Il y a lieu de se demander s'il en est de même pour l'équa- 

 tion 



(2) [Y„(^, /)+...] a!/ -t- [X„(.r, y)^...-\dx = o 



où, dans les expressions entre crochets, qui sont des séries entières en x 

 et y, nous mettons en évidence les termes de degré minimum n. Cette 

 question présente d'autant plus d'intérêt (pie, dès que n est supérieur 

 à I, on ne connaît pas, en général, de relation donnant, dans le voisinage 

 de a'=j = o, l'intégrale générale de (2) et (jue, alors même qu'on connaît 

 une pareille relation, elle met difficilement en évidence les propriétés des 

 intégrales. De plus, les méthodes habituellement employées dans l'étude 

 des intégrales de (2) pour lesquelles j tend vers o avec x considèrent exclu- 

 sivement les intégrales pour lesquelles t tend vers une limite. Il est donc 

 naturel de se demander si l'on obtient ainsi toutes les intégrales. Il n'en est 

 rien : en général, il y a une infinité d'intégrales telles que, x tendant vers o 

 d'une façon convenable, y tende vers o, tandis que t ne tend vers aucune limite 

 finie ou infinie ('). 



(') Ceci est bien connu dans des cas particuliers. Par exemple, l'équation 



