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Nous examinerons uniquement le cas où rinlégrale générale de l'équation 



Y„(.r, y) dy + X„(.r, y) d.r = o 



obtenue en ne considérant dans (2) que les termes de moindre degré, se 

 met sous la forme 



les a et les u. élanl des constantes. Ce cas esl le cas général qui se présente 

 si X„ et Y„ sont quelconques ; on a alors p — n + i. Eu prenant/» < « + i , 

 on peut considérer quelques cas particuliers où X„ et Y„ admettent des 

 facteurs communs. Si x = y ^ o est un point dicritique, on a 



;j., + (^2 H- . . . -t- IX I, =: o ; 



dans tous les autres cas, on peut supposer, comme nous le ferons, cette 

 somme égale à i. 



Nous nous servirons des deux formes suivantes que, dans certains cas 

 particuliers, peut prendre l'intégrale générale de l'équation (2), 



(A) e'"-^.y'JJ[j-l-cp,(.r)p-.= const., 



î=\ 

 • =p- 

 (L) '''TT(< + rt,)^[H- j:L, + jî'L.-h. . .] = consl. 



1 = 1 



Dans (L) nous supposerons que L,, L,, ... sont àc^ fondions /altunnel/es 

 de t. Dans (/;) les o,- sont des fonctions de x holomorphes et nulles 

 pour .r ;= o; h(x,y) est une série entière en x et v. Le nombre (/ est, en 

 général, égal à « + i, mais il peut être plus grand ou plus petit. Lorsque la 

 somme des exposants A n'est pas nulle, nous pourrons, comme nous le ferons, 

 la supposer égale à i. Nous n'aurons besoin, sauf avis contraire, que de 

 supposer l'existence fonuelle des développements (/> ) et (I^) sans supposer 

 leur convergence. Entre ces deux formes d'intégrales, on a les relations sui- 

 vantes : si (h) existe et que x^y^^o ne soit pas un point dicritique, 



a comme intégrale 



y= Cxe'' ; 



y 



quand j- tend vers zéro par valeurs réelles, y tend vers zéro el — esl indéterminé. 



