SÉANCE DU 25 NOVEMBRE 1907. 9l5 



(L) existe; si (L) existe, si .:rY„+jX„ n'admet pas de facteur multiple et 

 si aucun des exposants [7. n'est rationnel et négatif, {h) existe. 



Pour plus de netteté, lorsque nous considérerons les valeurs d'une inté- 

 grale y pour des valeurs de x tendant vers o, suivant un chemin déterminé 

 (pouvant tourner une infinité de fois autour de x = o), nous dirons que 

 nous considérons une caractérislique. Les théorèmes suivants se rapportent 

 exclusivement aux caractéristiques pour lesquelles j tend vers o avec x. 



1° Si, comme c'est le cas général, l'équation n'admet pas d'intégrale de la forme (L), 

 il y a une infinité de caractéristiques pour lesquelles t ne tend vers aucune limite; 



2" Si l'équation admet jj^yr^o comme point dicritique, ou si elle admet une 

 intégrale de la forme {h), la somme des exposants A étant nulle, l tend toujours vers 

 une limite; 



3° Si l'équation admet une intégrale de la forme (A), si la somme des exposants \ 

 n'est pas nulle et si les exposants [x ne sont pas tous réels, il y a une infinité de carac- 

 téristfques pour lesquelles t ne tend vers aucune limite; 



4° Si, les deux premières hypothèses de 3° subsistant, on suppose que les jut sont 

 tous réels, tandis que les X ne le sont pas tous, la conclusion de 3°, bien que vraisem- 

 blable, reste douteuse. On peut généraliser 2° et 3° en disant : il existe au moins 

 un polynôme P (.r), de degré r — i au plus, tel que, si l'on considère le rapport 

 v^[y — ¥ {x)'\ : x'', il soit facile de reconnaître si v tend toujours vers une limite 

 ou s'il y a une infinité de caractéristiques pour lesquelles v ne tend vers aucune 

 limite; 



5° Si l'équation admet une intégrale {h), si les >, sont tous réels et ne sont pas tous 

 positifs, l tend toujours vers une limite. Si les A sont tous positifs, cette conclusion 

 est douteuse, si h {x, y) n'est pas convergent; 



6° La non-existence d'une limite, vers laquelle tende le rapport t, n'est pas la seule 

 singularité que puissent présenter les caractéristiques. En particulier, si les hypo- 

 thèses de 3° sont vérifiées, il existe une infinité de caractéristiques telles que, s étant 

 un nombre positif aussi petit que l'on veut, y : x tend verso, tandis que/ : .»' + ' croît 

 indéfiniment ; il y a une infinité de caractéristiques telles que/ : x croisse indéfini- 

 ment, tandis que y \ x'-^ tend vers o. 



Au lieu d'étudier y '. x, on peut étudier, par les procédés employés, le 

 rapport y : x'' . Il est cependant nécessaire, dans le cas oii v est irrationnel, 

 détahlir certains lemmes préliminaires. 



C. R., 1907, 1' Semestre. (T. CXLV, N° 22.) 122 



