SÉANCE DU 2 DÉCKMlîRE 1907- 98» 



PRIX BOHDIN. 



(Commissaires : MM. Jordan, Poincaré, Éinile Picard, Appell, Painlevé, 

 Maurice Levy, Darboux, Boussinescj; Humbert, rapporteur.) 



L'Académie avait proposé le sujet suivanl : 



flecon 11(1 tire d'une manière iiéuèrale si tes coordonnées des points d'une 

 surface algébrique pemenl s'exprimer en Jonctions al>éliennes de deux para- 

 mètres, de telle sorte qu'à tout point de la surface corresponde plus d'un sys- 

 tème de valeui-s des paramétres {aux périodes près). 



Étudier en particulier le cas oit l'équation de la sut face serait de la forme 

 z- =:f{x, y), / étant un polyiumie, et donner des exemples explicites de telles 

 surfaces. 



Un seul Mémoire a été présenté; les auteurs en sont deux g-éomètres 

 italiens éminents, MM. F. Enriques et F. Sevkki, dont les remarquables 

 travaux, associés à ceux de M. Castelnuovo, ont jeté tant de lumière sur la 

 théorie des surfaces algébriques. 



MM. Enriques et Severi partent de la rejirésentation d'une surface hyper- 

 elliptique S, par des fondions abéliennes de m, c, admettant le Tableau de 



périodes i, o; o, \; g, h; A, g', où est un entier, invariable dans toute 



transformation du premier ordre, et ([u'ils nomment te dimeur de la sur- 

 face S. Ils appellent rang de S le nombre des couples u, <>, distincts aux 

 périodes près, qui répondent à un même point de S. 



Les conditions pour qu'une surface soit hyperelliptique de rang i ont été 

 données par M. Picard, et mises par M. l'-uriques sous une forme géomé- 

 trique élégante et précise; les auteurs du Mémoire commencent par rap- 

 peler ces résultats; ils conqilètent ensuite l'étude des surfaces de rang i, 

 principalement en ce qui concerne les systèmes de courbes algébriques 

 qu'elles contiennent. 



Abordant alors les surfaces de rang r supérieur à i, c'est-à-dire l'objet 

 propre du problème posé, ils observent qu'une telle surface est l'image 

 d'une involution d'oidre rt sur une surface F, de rang et de diviseur égaux à 

 l'unité, ce qui les conduit à faire l'étude de ces involutions et à les classer, 

 soit d'après leurs transformations en elles-mêmes, soit d'après le nombre 

 de leurs coïncidences. Ce dernier point de vue est particulièrement impor- 



