C)H2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



lant. MM. Eiiriques et Severi reconnaissent ainsi (|ue. si iinvolution possède 

 une infinité de points doubles, sou image est une surface rationnelle ou une 

 surface réglée elliptique; si elle n\\ pas de points doubles, Timage est une 

 surface de rang i ou une surface elliptique; si elle a un nombre fini de 

 poinis doubles, l'image esl une surface re'gi/fière. dont les deux genres 

 égaux sont o ou i . 



Après ces préliminaires, les auteurs établissent li" théorème fondamental 

 suivant : 



Soient, sur une surface hypereUipliqve, u,, f^, ; u.^, i'.,\ ... ; u^, (',? ^('^^ '' ^^'J"- 

 ples d'arguments qui répondent à un rnè nie point : les u,. c, s'expriment linéai- 

 rement en u,, t',. 



La démonstration est assez délicate; l'idée principale est de considérer, 

 sur F, un système complet de courbes C, sans poinis fixes communs, et 

 d'étudier la courbe K, conjuguée dans l'involulion à une courbe C : on 

 établit tiue K ne peut être une courbe iri'éduclil)le, et, en examinant les 

 modes possibles de décomposition, on montre que K se décompose en 

 /• — I courbes distinctes. 



Il résulte immédiatement du théorème fondamental que les seules sur- 

 faces de rang supérieur à i, et dépendant de trois modules arbitraires, ont 

 le rang 2 : ce sont les surfaces bien connues représentables point par point 

 sur la surface de Kummer ou les surfaces analogues de diviseur quelc(uique. 



MM. Enriques et Severi font ensuite l'étude détaillée des surfaces irré- 

 guliéres dont le rang est supérieur à r, et qui sont nécessairement ellip- 

 tiques; ils les classent en sept familles biratiounellement distinctes, pour 

 chacune dcscpielles les genres aritlimétique et géométrique sont — i et o. 

 Chaque famille se trouve caractérisée par des nombres invariants, qui sont 

 certains plurigenres, joints à l'entier qui appartient à toute surface elliptique. 



Le problème posé par l'Académie peut donc être considéré comme résolu 

 pour les surfaces irréguliéres. 



En ce qui concerne les ^nrîcice^ régulières , les auteurs se bornent à étudier 

 celles qui correspondent à une iuvolution formée, sur F, par des transfor- 

 mations ordinaires. Ils développent leur analyse eu supposant le diviseur 

 égal à l'unité, et, écartant les cas de dégénérescence, obtiennent onze types 

 de surfaces, appartenant aux rangs 2, 3, 4, 6, 8, 12, i'\. Le cas de ;• = 3 

 ramène à la surface de Kummer; ceux de /■ = 3, 4, <J correspondent à des 

 groupes cycliques de substitutions linéaires; / — H, 13 à des groupes 

 diédriques; /•= 2 '1 à des groupes téiiaédriques. il serait trop long de suivre 



