SÉANCE DU 2 DÉCEMBRE J907. 9SS 



sur les contours C dont l'un enveloppe Tautie. Le problème fondamental 



est ainsi résolu dans toute sa généralité. 



L'auteur signale en passant une conséquence fort intéressanle de la mé- 

 thode : on sait qu'une fonction harmonique de deux variables, définie d'un 

 côté d'une ligne analytique el qui prend sur cette ligne des valeurs régu- 

 lières, est prolongeable régulièrement au delà de cette hgne. M. Hadamard 

 montre que la méthode de Fredholm peitnel d'étendre ce théorème à toutes 

 les équations (aux dérivées partielles du deuxième ordre) linéaires et ellip- 

 tiques, et à un nombre quelconque de varial)les. Pour les fonctions biliar- 

 moniques, le théorème analogue s'énonce ainsi : une fonction hiharmo- 



nique Y, régulière sur un bord d'um- ligne analytique ainsi que ^^ , est pro- 

 longeable régulièrement de l'autre côté de la ligne. 



Un autre résultat auquel l'auteur attache une grande importance, bien 

 que le temps, dit-il, lui ait manqué pour en tirer toutes les conséqnences, 

 est le suivant : la fonction de Green de l' élasticité, la fonction de Green ordi- 

 naire et la fonction de Neumann vérifient une même équation, à la fus diffé- 

 rentielle et intégrale, de forme simple. Cette équation gouverne ainsi trois 

 grands problèmes entièrement distincts : en outre, un problèjue qui s'est 

 montré rebelle jusqu'ici aux efforts des analystes, l'étude de la propagation 

 des ondes à la surface d'un liquide, dépend d'une équation analogue. 



J'arrive maintenant à la question de maximum abordée par M. Hadamard 

 et qui lui a été inspirée par ce théorème énoncé sans démonstration par 

 lord Ilayleigli : Le cercle réalise /'exlremum du son fondamental d' une plaque 

 homogène encastrée, dont le périmètre (ou l'aire) est donné. Le proldème 

 que traite M. Hadamard est analogue : Unr force donnée étant appliquée 

 en un point donné normalement à une plaque encastrée, déterminer le maxi- 

 mum de la flexion pour un périmètre (ou une aire) donné de la plaque. 



Ce problème, type d'une classe de problèmes que pose la Physique ma- 

 thématique, échappe entièrement au calcul ordinaire des variations. M. Ha- 

 damard l'attaque par une première méthode qui est une extension de celle 

 de Kneser et Scheffers, mais cette méthode est, par essence, limitée an 

 maximum relatif. Pour atteindre le maximum absolu, il faut inventer une 

 méthode nouvelle : c'est ce qu'a tenté M. Hadamard, sans être arrivé encore 

 à résoudre entièrement le problème posé. Il établit seulement que la plaque 

 circulaire dont le centre est le point d'application de la force lléchissante 

 jouit de la propriété énoncée de maximum par rapport aux plaques dont le 

 contour est voisin du cercle et assujetti (quant à la courbure) à des restric- 



