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lions de continiiilr. Mais, si le but n'est pas encore atteint, on connaît du 

 moins un chemin pour l'atteindre. 



Si riche qu'il soit en résultats accjuis, ce Mémoire est plus remarquable 

 encore par ccu\ (ju'il fait espérer. 



Rapport sur le Mémoire de M. Lairiceli.a et le Mémoire n" ,3, portant pour 

 épigraphe : « Rien n'est beau (pie le vrai, le i^rai seul est aimable », }>;n' 

 M. E.Mii.B Picard. 



Le Mémoire de M. Lauricella, inscrit sous le numéro 8, est un travail Ires 

 soigné (pii résout coniplètemenl le proldémc proposé. A l'équation différen- 

 tielle en z relative à l'équilibre des plaques Aâ^ z= /"(.r, j), l'auteur substitue 

 un système F de deux équations différentielles où les fonctions inconnues 

 sont les dérivées partielles du premier ordre u et i' de la fonction z ; on doit 

 alors intégrer le système F on supposant u et c données sur le contour, ces 

 données satisfaisant d'ailleurs à une relation (jui s'obtient immédiatement. 

 M. Laiiricella développe d'abord pour le système F une théorie générali- 

 sant celles des potentiels de double et simple couches, qui lui permettra de 

 suivre ici une voie analogue à celle de Frcdholm pour le proljlème de Diri- 

 chlet. Les deux fonctions de a; et j' qui jouent le rôle de potentiel de doultle 

 couche dépendent de deux fonctions arbitraires sur le contour, que nous 

 pouvons appeler deux densités; ces pseudo-jiotentiels sont discontinus pour 

 le passage par ce contour. En tout point de celui-ci, on- cherche leurs li- 

 mites intérieures et extérieures. M. Lauricella se propose ensuite de mettre 

 les fonctions cherchées u et v sous la forme de tels potentiels. Le système 

 fonctionnel, ijui fait connaître leurs densités, s'obtient immédiatement, en 

 écrivant que les limites intérieures des potentiels ont des valeurs données 

 sur le contour. Ce système est formé de deux équations intégrales de 

 Fredholm ; on se trouve précisément dans un cas singulier, mais, le second 

 membre satisfaisant à la relation dont nous avons parlé plus haut, la condi- 

 tion classique dans la théorie de léqualiou de Fredholm se trouve vérifiée. 

 Le problèuie initial a alors une solution ipii est d'ailleurs luiique, comme 

 on peut a priori le démontrer. 



M. Lauricella traite aussi un problème erlérieur, en supposant que u et c 

 soient données sur le contour et s'annulent d'une certaine manière à l'iniini 

 ainsi que leurs dérivées premières. Ici, comiue dans le problème extérieur 

 de Dirichlet, quand on veut mettre la solution sous la forme d'un potentiel, 

 il u"y a pas, en général, de solution; mais on peut modifier les conditions 



