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que dans Tune d'elles figure la fonclion ordinaire de Green et dans l'autre 

 ce qu'il appelle la fonclion de Dini, c'esl-à-dire une fonclion analogue à 

 celle de Green, mais telle que ce n'est pas la fonction elle-même, mais sa 

 dérivée normale, qui s'annule sur le contour. I^es deux solutions supposent 

 donc la résolution préalable du problème de Diricblet ou d'un problème 

 analogue. 



Le Mémoire n" 7 porte pour épigraplic : Harré de Sainl-Venant. Le 

 problème y est abordé par deux métbodes distinctes. La première est ana- 

 logue à celle qui a été appliquée autrefois au problème de Diricblet par 

 M. Zaremba. Substituons à l'équation A'c = o l'équation {)lus générale 



A'r 4- 2i:'A-r -1- -'iC = o, 



le problème peut facilement être résolu quand on a H, = ^- et que \ est né- 

 gatif; l'équation 



A*r + 2t„A^c -+-tlv= o 



étant ainsi résolue, on passe à l'équation plus générale 



A*r4- 2i(,AH'-l-t2r-h-o(Ar + ç„(^) = o, 



et l'on voit que la solution peut en être développée suivant les puissances 

 de Y) en une série qui converge pourvu cjue |y]|î:|^o| ; cela donne la solution 



de 



A'c -I- :'oA-c=: o. 



(_)n voit alors que la solution de 



^''v -^{c^-^i) ùi-y — o 



est développable suivant les puissances de "( et que le développement con- 

 verge pourvu que (5H„, ce qui donne enfin la solution de A'c = o. 



La seconde métiiode est fondée sur l'emploi de léquation de Fredholm. 

 Dans la solution figure la fonction ordinaire de (ireen (de môme que dans 

 la solution analogue de M. Boggio). Cela n'est qu'un léger désavantage, 

 mais la solution présente une autre imperfection, puisqu'elle exige un pro- 

 cessus assez indirect de passage à la limite ; on détermine par l'équation de 

 Fredbolm une certaine fonction \v dépendant d'un paramètre arbitraire A, 

 on en déduit par une intégrale définie une autre fonction r et la fonction 

 cherchée V est la limite du produit Xc pour A = ce. 



Les deux méthodes se complètent mutuellement; la première, impropre 



