SÉANCE DU 9 DÉCEMBRE 1907. II 33 



On jiciU, à l'aide d'un changemenl des variables u el c, prendre 



a,:—a.i{v)., *.= -^ =o;(('). (/=i,2,3), 



0,, cp., 93 étant trois intégrales linéaircnicut indépendantes d'une équation 

 différentielle de la forme 



(3) 9"'(0'+A(..->ç(r) = o. 



Le même résultat aurait pu s'obtenir en appliquant directement la 

 méthode indiquée dans ma Note mentionnée. On obtient de cette manière 

 toutes les surfaces S réglées. 



II. On sait que sur cliaf[U(^ surface il \ a une ligne formée par les points 

 où l'on peut mener une tangente qui coupe la surface en quatre points con- 

 fondus au point de contact; c'est ce que les géomètres anglais appellent la 

 ligne flecnodah de la surface. M. Voss et surtout M. Wilczynski dans son 

 Ouvrage récent ( /'ro/^c/ù'e differential Genmetry 0/ cii/ves and nded surfaces) 

 ont étudié les lignes flecnodales des surfaces réglées. Si l'on suppose que 

 pour une surface réglée les deux branches de cette ligne sont confondues 

 en une courbe plane C^ décrite par le [)()int P^ de coordonnées tétraé- 

 driques j,, y.,^ j,, y^, les r étant des {onctions d*une variable c, et que 

 chaque génératrice de la surface coupe une certaine ligne asymptotiqiie C- 

 en un point P:(z,, :■■<, -:,, =•.,), où les - sont par conséquent aussi des fonc- 

 tions de c, on trouve que, par un choix convenable de la variable v, de 

 l'asymptotique C. et des facteurs par lesquels on peut multiplier les y et 

 les s, l'on peut considérer ces fonctions comme des intégrales d'un système 

 de la forme 



(4) • r"-^'=o, 3"+A(r)j = o. 



En comparant ce système (1) à l'équation (3), on obtient le résultai sui- 

 vant que je voulais atteindre : 



Les surfaces S réglées ont les deux branc/ies de la ligne flecnodale confon- 

 dues suivant la courbe de l'infini de la surface. Ce sont les seules surfaces 

 réglées qui jouissent de cette propriété. 



