Il3rt ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Certainemenl, V(/) est encore une solution de X(/) = o, si /en est 

 une, mais malheureusement ie théorème réciproque disparaît. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sm' la fonction D( X) dr Fredholm. 

 Note de M. T. Lalesco, présentée par M. iMnilc Picard. 



Aux résultats énoncés dans une Note ])récédenlo on peut adjoindre les 

 remarques suivantes : 



1. Considérons une équation de iM'edholm quelconque 



(,) (p(a-) + 7 / f{j-,s)'^{s)<h = ¥{,r), 



soit fp{3L', s) le noyau obtenu de f(x, s) par p — i itérations successives 

 et^/,= / fi,{s,s)ds. 



-'a 



La condition nécessaire et suffisante pour qu'à Féquation ( i) corresponde 

 exactement n fonctions singulières est (ju'on puisse trouver // quantités 

 (7,, a., «„ telles que, ])our/^>> 2, on ait 



S'il n'y a aucune racine, on retombe sur un résultat déjà énoncé. 



Ce critérium permet de trouver immédiatement un théorème de M. D. 

 Hilbert sur la même question dans le cas d'un noyau symétrique; mais on 

 peut voir aussi facilement qu'il n'est plus vrai pour un noyau non symé- 

 trique. Voici un exemple dû à M. 1*]. Goursat. 



Prenons f{x^ s) égale à la série uniformément convergente entre a et b : 



o, sin j- siny -t- «^ sinax sin 2 j 4-. . .H- «„ sJn /i.r si 11 «y 

 + rt„-n sin ( /i -1- 1 ) .î' cos ( /; -t- r) j + . . . 

 + r/„+,, siu(/t -i-/>) ,rcos(/i -+p)y +. . .: 



on a immédiatement 



k,, = a1+a'l-\-...^a',[. 



11 n'y a donc que n fonctions singulières. Dans le même ordre d'idées, 

 on obtient un exemple extrêmement sinqjle d'une équation de Fredholm 

 sans aucune fonction singulière en prenant /(x, s) = -p, {œ) Zi„(s), ■p, et Çj 

 étant deux fonctions orthogonales dans l'intervalle ab. 



