SÉANCE DU 9 DÉCEMBRE 1907. Il37 



2. Dans le cas où l'on a 



iL{x, s) 



on peut toujours définir la fonction D( A) coirespondante en supprimant un 

 certain facteur exponentiel. Si a< -> on sait que M. D. Hilbert, par un 



artifice ingénieux, a supprimé le facteur e''''^\ Dans le cas général, soit ——^ 



le quotient de deux entiers consécutifs immédiatement supérieur a; en sup- 

 primant le facteur 



on obtient une fonction D( A) (jui a un sens, ('cla posé, la fonction entière 

 ainsi obtenue a un ordre v limité. Si la fonction ^(^, s) satisfait dans le 

 carré (ab, ab) à la condition de Lipschitz, cet ordre est plus petit quer+ i; 

 dans le cas général on peut affirmer qu'il est au plus égal à '3r. Le critérium 

 précédent est applicable; il suffira de remplacer 2 par v. 



Une conséquence de ce résultat est que le théorème de M. D. Hilbert, 

 étendu aux noyaux de la forme (2) où ^{x^ s) désigne une fonction symé- 

 trique de X et s, seulement pour a <| - , est vrai pour toute valeur de a <; 1 . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les systèmes d'équations aux dèrhées par- 

 tielles auxquels conduisent : 1° l'étude des déformations finies d'un jnilieu 

 continu dans l'espace à n dimensions; 2" lu détermination des systèmes de 

 coordonnées curvilignes orthogonxdes à n rariahles. Note de M. Riqcieu, 

 présentée par M. Emile Picard. 



I. Un système différentiel, résolu par rapport à certaines dérivées (d'ordres 

 positifs ou nuls) des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, sei-a dit 

 complètement intégrable, s'il admet un groupe d'intégrales, et un seul, ré- 

 pondant à des conditions initiales arbitrairement choisies. 



Un système complètement intégrable étant donné, adjoignons aux 

 diverses équations qui le composent toutes celles qui s'en déduisent par des 

 différentiations d'ordres quelconques, puis considérons le groupe illimité 

 des formules qui donnent la solution «wwîmy^e générale du système ainsi 

 prolongé, et où les diverses quantités principales se trouvent exprimées à 



