SÉANCK DU l6 BÉCEMHRE 1907. 12,57 



Admettons que les lii;nes v ^= const. sur la surface ï) soieut des coui'hes 

 coniques (d'après Iv.-M. Peterson), c'est-à-dire des courbes de contact 

 d'une famille de cônes circonscrits à 2. La surface X, se réduit évidemment 

 à une ligne et l'équation ponctuelle relative au système conjugué sur la sur- 

 face ï est caractérisée par cette propriété qu'un de ses invariants est 



nul( '). 



Admettons maintenant que les lignes u — const. sur la surface Z soient 

 planes. La surface H, se réduit évidemmeni à la développable enveloppée 

 par les plans des lignes u = const. de la siulace E, et la famille u = const. 

 sur la développable 2, est composée de ses génératrices reclilignes. Il s'en- 

 suit que l'application à la surface 2, de la construction précédemment 

 définie conduit à une ligne — l'arête de rebroussement de la développable — 

 la congruence des tangentes se réduisant au système des génératrices, cl, 

 par conséquent, l'équation ponctuelle relative au système conjugué sur la 

 surface lest caractérisée par cette propriété ({u'en lui appliipiant une fois la 

 transformation de Laplace on est conduit à une équation dont l'un des 

 invariants est nul. 



La relation entre les deux surfaces S et 1, étant dualistique, on peut 

 énoncer ces deux propositions : 



1° Si l'une des deu.r farmUes d'un système conjugué est composée de lignes 

 planes, l'un des invariants de l'équation tangentielle relative à ce système con- 

 jugué est nul. 



'2° Si l'une des deu.r familles d'un système conjugué est composée de lignes 

 coniques, l'équation tangentielle relative à ce système peut être transformée, 

 à Vaide d'une transformation de Laplace, en une équation dont l'un des 

 invariants est nul. 



Ces deux propositions conduisent rapiilenienl à la solution du problème 

 suivant : 



Déterminer toutes les surfaces qui peuvent être déformées d'une manière 

 continue avec conservation d'un système conjugué, l'une des familles de ce 

 système étant composée de courbes planes ou coniques. 



Le système conjugué considéré étant [lersistant, l'équation tangentielle 

 respective doit être une équation à invariants égaux, et, par consé([uenl, 

 par un cboix convenable des variables », v et des coordonnées tangen- 



(•) Voir Daubolx, Tluorie des surfaces, l. 11, Clliap. 1, 11, VII. 



