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tielles 0„ on peut lui donner l'une de ces deux formes (' ) 



(2) 1 — r ="^' 



,)'9 (V-B 2 



;Ô. 



)ii<)v ' 1)11 i)v {ii + vy- 



La résolution du problème posé dépend de la détermination de Irois 

 solutions 6,, 0., 0., vérifianl une relation de la forme 



(3) e\-^ei-^ei — w{ii)-h'h{i-). 



Pour la première des équations (2), on est conduit aux résultats bien 

 connus; le système conjugué étant composé de deux familk's de courbes 

 planes et coniques à la fois. 



Pour la deuxième des équations ( 2 ), j'avais donné antérieiurment (\) la 

 solution générale 



(4) ^. = ^;7^-U'> ^^-^^7^-^- ^^=^^-^'' 



U, U,, V étant des fonctions de u et de c respectivement vérifiant les rela- 

 tions 



^^' \ A- = (7oc3 — n,r- -f- «,(• — «3- 



La surface I (Hanl l'enveloppe du plan 



(6) 9,j--(-9.>,v-t- 9,3 -+- 5i=o, 



il reste à choisir 0, de manière que les lignes u ^ const. soient des lignes 

 coniques. W est aisé de voir qu'il suffit de poser 



(7) • 5*='^77T7.-^- 



U.. étant une fonction arbitraire de u. Les sommets des cônes sont situés 

 dans le plan z = o, et tous ces cônes sowi algébriques de même que les lignes 

 u = const., puisque les 0, sont des fonctions algébriques de v. La surface 2 

 devient elle-même algébrique si les fonctions IJ, U,, U, sont des fonctions 

 ali;ébriques. Il est aisé de voir que la déformation continue des surfaces 

 considérées, avec conservation du système conjugué, conduit aux surfaces 

 de même espèce. En effet, l'un des invariants de l'équation ponctuelle 



(') Voir Darboux. Théorie des surfaces, t. U, Cliap. I. Il, VII. 

 (^) Comptes rendus, 24 juin 1901. 



