SÉANCE DU l6 DÉCEMBRE 1907. laSp 



s'annule évidemment, les lignes ?/ = const. étant coniques; crailleurs, les 

 coefficients de l'équation ponctuelle ne dépendant que de l'élément linéaire 

 de la surface, ce même invariant est nul pour toutes les surfaces que l'on 

 obtient en déformant la surface donnée; donc, les lijj;nes m = const. sont 

 des lignes coniijues sur toutes ces surfaces. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des matrices. 

 Note de M. de Séguier, présentée par M. Jordan. 



1. Plusieurs des résultats acquis depuis quelques années dans la théorie 

 des matrices peuvent s'obtenir d'une façon à la fois plus naturelle et plus 

 complète en partant de la forme canonique de M. Jordan. 



Soient a une matrice ou substitution (dont le détenuiriant peut être nul) 

 prise sous forme canonique; s„, s^, ... les racines dislincles de |a — 5c |, 

 £ étant la matrice unité de l'ordre n de a; a^^ l'action de a sur les variables 

 7y" J>2' • • • ^"^ 1» y'*'"* suite relative à s,,\ 9(0;) un polynôme. On aura, en 

 posant ^y-^ = cp^,., 



?(«;/.) = 



yji ?/.i.ryi-t-?*o7./2 



On en déduit immédiatement l'équation '];(a;) = o de degré minimum 

 que vérifie a et, très simplement aussi, les diverses propositions obtenues 

 en 190 1 par M. Bromwich (Procerdings of tlie Cambridge Pliil. Soc, t. XI, 

 p. 75). 



a, a', a", . . . étant des matrices d'ordre 11 [le.rmutables deux à deuœ, a étant 

 prise sous forme canonique, la considération de \a. -{- a.' — st\ el de 

 la'^'a'— 5£| montre facilement que Von peut établir entre les racines p,, 

 p., . . . de\'x — st\, celles p', , p,,, . . . (/e | a' — .?£ |, . . . une correspondance telle 

 que, SI, par exemple, p,, p^, p^', . . . se correspondent, les racines de 



\J\y., y.', ...)—sz\, 



f étant une fonction rationnelle, soient /{z^., p', ...), et la correspondance est 

 indépendante de la forme de f. La proposition a été établie autrement par 

 M. Frobenius, puis par M. Schur, pour le cas où / est un polynôme 

 {S. A. H., 1896, p. Goi; 1902, p. 120). 



