SÉANCE DU rG DÉCEMBRE I907. 12G1 



Comme la forme aux dérivées partielles de M. Buhl représente une trans- 

 formation infinitésimale des ('cjualions dilTérentiellcs ordinaires du premier 

 ordre (' j, il est donc le plus avantageux de traiter la question au point de 

 vue de la théorie des transformations infinitésimales. La formule obtenue 

 par M. C. Popovici devient alors évidente et on la retrbllvé tndifitès fois 

 dans ladite théorie (-). I^e point délicat de cette dernière, c'est de faire voir 

 que la formule citée contient toutes les trahsfofmations infinitésimales pos- 

 sibles. Or, les équations différentielles des fonctions adjointes, celles de 

 M. Buhl comme celles de M. C. Popovici, appartiennent au même type 

 d'équations de Jacobi. J'ai étudié en détail leurs intégrales en 1897 (■'). 

 Mon second Mémoire ( ' ), datant de la même époque, traite du calcul des 

 transformations infinitésimales, et il en résulte immédiatement la démon- 

 stration requise. 



Pour fixer les idées, prenons le système d'équations dilférentielles sous la 

 forme 



, cljr, d.v, dXii 



(I) da; — ^r^=:—^=z...— -,rr-- 



On est alors à l'abri de l'objection de M. C. Popovici concernant le cas 

 particulier du système (I) privé de son premier terme. Mais il résulte 

 du résumé de la théorie des transformations infinitésimales, donné par 

 M. C. Jordan (^), que cette dernière gagne plus de sim|)licilé, sans dimi- 

 nuer sa généralité, si l'on met les équations étudiées sous la forme (I). 

 Posons donc 



i ---I 1=1 



Y (y) représentant la forme canonique des transformations infinitésimales, 

 les coefficients \ ,• vérifiani les écpialions 



(II) X(Y,) = V(\,) (/=.,2, ...,/0. 



(') Voir mon Mémoire : lilude sur (es Iransforinalioiis in finilésiinad's {Journal 

 de Jordan, igoj, ]>. 53). 



(-) S. Lie. Malliemalische Annalcn. lid. \l. [>. ^yg. — C. Jordan. Cours cl' Ana- 

 lyse, l. III, iHR-, p. 83. 



C) Kltide sur les intégrales d'un syslènie J ci/ualions différenlielles aii.r déri- 

 i^'ées partielles de pludeurs fondions inconnues [Journal de Jordan. 1897, I'- 423). 



(') A«/' les transformations in finitésiinales ilrs éfjuations dilférentielles (Journal 

 de Jordan, 1897, p. 429)- 



(•') Cours d' Analyse, t. III, 18.87, !'• '^'->*^7- 



