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Le système des équations difFéreiilielles ordinaires qui leur correspond 

 admet n intégrales distinctes du système (Ij, 



(III) /,{x,.r,,^,, ...,.l-„)=:fl', (( = 1,2, ...,«) 



et n intégrales définies par les équations 



n 



V,=y]èiY,i (;-^ 1,2, ...,«), 



A = l 



a,, h^ désignant in constantes arbitraires et les Y,a représentant des solu- 

 tions particulières des équations (II). Leur intégrale générale devient donc 



n 



(IV) Y,=r y] H,(.A. /„.../„)¥,, (« = 1.2, ...,/0, 



les H/, étant n fonctions arbitraires. 



Il va de soi-même que la méthode du n° 3 de la Note citée de M. C. i'o- 

 povici n'est pas applicable au calcul des transformations infinitésimales en 

 vue des applications. Or on va voir aisément (pi'il suffit des opérations de 

 difFérentiation seulement pour obtenir n transformations infinitésimales des 

 équations (I), quand on en connaît n Intégrales distinctes quelconques. En 

 efiét, partant du (héorème de M. V. Appell ( ' ), dont la réciproc[ue se trouve 

 démontrée dans mon travail : Élude sur les transformations infinitésimales 

 (p. 59, 61-62), on obtient le résultat suivant : 



Soient les équations {\l\) n intégrales distinctes du système (l). Les coeffi- 

 cients Y,^ deviennent alors 



A,A- 



où l'on a posé 



Y,'*- ^ 



A r» / /l' /21 ■ ■ ■ • J n 



A,A désignant le mineur de A correspondant à son élément situé à i intersection 

 de la k'""" colonne et de la i'^"^ ligne. Enfin la formule (lY) nous donne la 

 forme générale requise 



n 



(') Comptes rendus, août 1901, p. Si;. Considérons les équations canoniques de 

 Liouville correspondant au système (I); le théorème de M. F. Appell démontre que 

 toute leur intégrale, linéaire par rapport au.x variables auxiliaires de Liouville, 

 définit une transformation infinitésimale des équations (I). 



