SÉANCE UU iG DI'.CEMliRK 1907. 1263 



AiXALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les etjiKiliofts dij/erenlielks du lioisicmc 

 ordre à points critiques fixes. îNoU; de M. J. Chazy, présentée par 

 M. Painlevé. 



Cette Communication a pour objet nue première application aux équa- 

 tions difTérentiellcs du troisième ordre de la méthode qui a permis à M, Pain- 

 levé de découvrir des transcendantes unilonnos nouvelles comme intégrales 

 d'équations du second ordre. 



M. Painlevé a montré que, pour (pi iinc équation donnée du troisième 

 ordre ait ses points critiques fixes, il est nécessaire qu'une- équation simpli- 

 fiée qu'on en déduit ait son intégrale générale uniforme. Considérons les 

 équations qui admettent comme sinq)lifiée v= o : ce sont les expiations 



y" = P.(r)/'+ Po/'^H- I'2(,r)/+ P4(7); 



les P sont des polynômes en y de degré égal à leur indice, et leurs coeffi- 

 cients sont des fonctions analytiques de x. Toutes celles de ces équations 

 dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes peuvent être intégrées 

 par les fonctions rationnelles, exponentielles, elliptiques et transcendantes 

 du second ordre, ou bien sont réductibles à des combinaisons de cjuadra- 

 lures et d'équations linéaires, ou eniiii peux eut être ramenées algébrique- 

 ment à l'une des suivantes : 



(1) y"=ri2j7'+6j-6.z-, 



,11 m I y" — 6 k- — " „ , 



( Il j / = ^'^yy + ' \- iijcy — 6.6-', 



(III) y' + e/'^-Oj — 3.r- = o, 



( I\ ) y 4- 6 y'- — I ■>, .ry — 2 a;'* + « =r- o, 



(^) j"'+ '\>'''— 6'^ — -Y s(i8a.-'/ -t-.*.-*) 4-ax'-H =0 (s = i ou o), 



{ /" + 6j'^-6/>{.r,o, ,){y + y'-) + a{-2py--py) 



( V 1 ) < -i-f, -^ '- e-^^'' + c -^ e''-'' = o 



I !TX a a: 



{ [p(t,, o, l)-=0], 



a, b, c sont des paramètres arbitraires. 



Les équations (I) et {W ) deviennent les équations ( 111) el (^1\ ) par la 

 transformation v'I —y'. Des équations (I ), (II) et (III), (IV), (Y), (VI), 



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