SÉANCE DU l') DÉCEMBRE 1907. 1 26f> 



dehors des deux poiuls singuliers o eL ». I^a transfonuiiliou j' = e^ y = 7. 

 conduit à l'équation 



j"'+ 6 r'^— 2 (_)■"-(- 2fj')—s{6ye-'-+ e'"-') -+- ae'-^+ be^:=i o, 



dont les intégrales sont méromorphes. Si l'on fait dans cette nouvelle équa- 



lion la l lansformation y = —, la fonction «est entière et satisfaità une r'(|iiii- 



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tiondiflérentielle du quatrième ordre. D'après lesprincipes posésparM. Horel 

 et les théorèmes de M. Boutroux, il est bien facile de déterminer son ordre de 



grandeur. Son genre est infini : si £ = i , elle croit comme e' dans les régions 



du plan des x où elle est très grande, elle décroît comme e "' dans les 

 régions où elle est 1res petite; si c = o, elle se comporte comme e*'"' , 



Équation VI. — Les intégrales de Véqiuilion (VI) admettent des pôles 

 mobiles et admettent en outre comme points singuliers fixes, critiques en 

 général, les pôles de p(x, o, i). La tranformation j)(a.-) = X, y = \p' 

 donne une équation dont les intégrales sont méromorphes, sauf au point ce 

 et aux trois points 4X'— i =0. Si dans celte nouvelle équation l'on pose 



y= — , la fonction u satisfait à une équation différentielle du quatrième 

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ordre, et elle est régulière, sauf au point -x <l aux points '|X' —1 = 0. Ces 

 points peuvent être pour elle critiques, algébriques ou logarilhiniipies, 

 essentiels, etc. 



En résumé, si l'un admet que leurs points vriliquos sont fixes, les transcen- 

 dantes obtenues présentent la plus grande analogie avec les transcendantes 

 unifornu-s du second ordre. Elles sont, au contraire, bien différentes des 

 fonctions fuchsiennes. Si, parmi toutes li-s équations simplifiées ^osûhXe^ ('), 

 au lieu de la plus simple, im choisit l'éipiation différentielle des fonctions 

 fuchsiennes, ou une équation voisine, on obtiendra, par l'équation complète, 

 des transcendantes d'une autre nature et si; rapprochant des fonctions fuch- 



siennes. 



(') Coinple!^ rendus. >9 juillet 1907. 



