SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE I907. 1397 



est celle d'un {n -{- m — X:)-pède réel, nommé produit k"""' des muUipêdes a" 

 et b'", et désigné par a"j^b"'. Le produit scalaire a":,^b" sera désigné par 

 a"-b" (I, n° 3). 



2. Un «-pède a" dont les coordonnées binaires sont des fonctions de 

 point X détermine une fonction npédique qui sera désignée également 

 par «"('). En introduisant le vecteur opérateur V de Hamilton, de coordon- 

 nées V) = - — , nous appelons m-pèdes dérivés du degré p de la fonction a" 



les produits par le «-pède a" des raultipèdes opérateurs symboliques 

 \p-'-'^(\.'Çy l/j, 7= o, 1, ...]; on a 



3. Un multipède, dont les coordonnées binaires sont homogènes par rap- 

 port à chaque série des dérivées partielles des ordres 0,1,...,^ des coor- 

 données binaires a,^ de la fonction a" par rapport auxiCX) étant indépendant 

 du choix des axes, soit appelé invariant différentiel vectoriel U de la fonc- 

 tion «-pédique a". Les 1^ sont les Ip des multipédes dérivés des degrés 

 o, I, ..., q de la fonction a"; leurs formes sont les comitants des formes 

 binaires de ces multipédes. Un système complet des I^ est donné par un 

 système complet de ces formes (I, n" 4). 



4. Une fonction scalaire S'' linéaire en v vecteurs, dont les coefficients dé- 

 pendent des a;), est déterminée par un nombre de multipédes immanents 

 (I, n" 6). Les immanents de S- sont, par exemple : un bipède B, un vec- 

 teur V et un scalaire ; on a 



S= = 



^«X[j.«À'V=B-((<i-) ^-\(u^v)-^\&u.v 



Les \g de S" sont les I^ des multipédes inunanents de S" ( - ). 

 5. Applications. — a. La. fonctiom^ectorielle v possède les multipédes dé- 

 rivés des degrés i et m : le bipède (') Vt' = déf. c = ^b, V, c := rot. v = r, 



(') On peut, la représenter par la fonction sphciù/ue H„=: a"-v"- (11, n" 1 ), oii a" est 

 fonction de X. 



(^) Théorèmes analogues pour les 1^ de plusieurs fonctions de plusieurs multipédes. 

 Pour des transformations par similitude, les Ij sont aussi invariants près un facteur 

 qui est une puissance du rapport de la similitude. 



(') En considérant le vecteur v comme vecteur de déplacement d'une déformation 

 infinimeni. petite, le bipède Vv', déterminant justement le changement de figure pro- 

 duit, sera appelé déforinateur du vecteur et désigné par déf. v [cf. n" 5 (f)]. • 



