SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. I 399 



de la déformation : h = ' déf. v, r = rot. v,'b= ~ div. p.. Un invariant I, qui 



ne dépend que des dérivées -^ est un polynôme de & et des invariants bi- 



naires |r|-, g:,, g,, A, B, C de la quadrique du vecteur r et la biqua- 

 drique du bipède b (' ). Équations de Saint-Venant : Pour qu'un bipède b 

 et un scalaire & soient immanents d'une déformation infiniment petite, il 

 faut et il suffit que le bipède B et le scalaire S [voir (b)] formés de Z» et !^ 

 s'annulent. 



6. Au lieu de la fonction /i-pédique a", on peut introduire les n Jonc- 

 tions (''"' vectorielles qui la composent. L'elTort dans un milieu est, par 

 exemple, donné par deux fonctions vectorielles et par le scalaire de l'effort 

 moyen. On peut alors traiter les cas spéciaux où ces fonctions çj'"' possèdent 

 des propriétés invariantes, par exemple où elles coïncident. 



Enfin on peut, surtout pour des buts analytiques, considérer au lieu de la 

 fonction a" les facteurs linéaires de leur forme aj", qui déterminent des 

 vecteurs de longueur nulle ou de points sur le cercle à l'infini conjugués 

 deux à deux. 



ARITHMÉTIQUE. — Sur fa décomposition d'un nombre en une somme de puis- 

 sances huitièmes d'entiers. \ote de M. Edmond Maillet, présentée par 

 M. .Tordan. 



\\aring a signalé ce problème, qui est une des énigmes historiques de 

 l'Arithmétique et qu'on peut suppeier problème de Waring : 



Montrer que tout nombre entier N est la somme d'un nombre /,-, limité pour 

 chaque valeur de n quel que soit N, de puissances «"■'"" d'entiers positifs (-). 



(^e théorème est établi maintenant pour « = 2 ( Fermât, Eulcr, Lagrange). 

 // = '1 (.1. Liouville), /? = 3 et 5 ( E. Maillet), « = 6 (A. Fleck). La 

 méthode récente de M. Fleck, convenablement modifiée, s'étend, grâce à 

 des lemmes de Cauchy et ,T. Liouville, au cas de « =: 8. 



(') L'invariant I, du second dey;ré par ra|)piirt à ces dérivées est, par exemple. 

 ^ oc^, -h j3 I /■ l'' -t- y^'- où a, [3, y sont des constantes; cf. PoincarÉ, Leçons sur lu 

 théorie de l'élasticité, p. 20. 



(^) Le théorème étant supposé vrai poui- une valeur de /i^2, j'ai pu montrer 

 que /f î; rt + I pour une infinité de valeurs de \. 



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