l4oo AGAÙÉMIË DES SCIENCES. 



Soient x, , x.,j . . ., .t), entiers > o, et les sommes 



obtenues en prenant dans les parenthèses toutes les combinaisons q à q de 

 ces/> quantités, et additionnant dans chaque combinaison les ^quantités 

 dont q — I ont été alTeclées des signes -f- ou — de toutes les manières pos- 

 sibles. Ay_, est de la forme 



K,i_,^ a^.r\ + b^x\.r\-^ c^j:\.r\-- d'^x\x\xl + e^x\x\x\xl. 



Si 



G + 2H est de la même forme que A,.,. 11 se trouve que (j + 2H peul 

 s'exprimer, pour/J = "ii, par une fonction linéaire homogène à coefficients 

 numériques et positif s de 



(2) A,, A., A3, A,, A, s et A^o 



(lue 



(au lieu de A,,„ on pourrait prendre K^^j, A,,„, ... ou A.,,j). 



D'autre part, on conclut de lemmes de Cauchy et de J. I^iouville 



,, . ... , , r G + aH , 

 toute puissance quatrième d entier m positif est de la torme (pour 



yy = 5i), où est un entier numérique positif qui n'a que deux valeurs 

 distinctes suivant que m est de la forme '\lt + 2 ou non. Tout nombre N 

 étant, d'après J. Liouville, la somme d'au plus 53 bicarrés d'entiers, est 

 alors une fonction linéaire, à coefficients rationnels, numériques et positifs 

 de plus petit dénominateur commun A, d'au plus 53 systèmes de quan- 

 tités (2) (A est un entier numérique). 



Si A, = 3^" A, d'après (i), A,N est donc la somme d'un nombre limité de 

 puissances huitièmes ; par suite, puisque tout entier est de la forme A, N + S, 

 avec o<o<A, — I, et que l'unité est une puissance huitième, tout entier est 

 la somme d'un nombre limité de puissances huitièmes d'entiers positifs. 



