SÉANCE UU 3o DÉCEMBRE 1907. l'jOI 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équation -^ = -^- Note ( ' ) 

 de M. E. HoLMGREX, présentée par M. Emile Picard. 



l. Considérons une intégrale quelconque de l'équation ^, = ^. régu- 

 lière dans un domaine Y du plan des ^, y, c'est-à-dire une intégrale z(x,y) 

 qui est continue ainsi que les dérivées ^, ^ dans F. Je me propose de 



caractériser la nature analytique d'une telle intégrale. 



Considérons un point quelconque œ^, J„ à l'intérieur de V et un segment 

 de droite parallèle à l'axe des y passant par ce point et situé complètement 

 à l'intérieur de F (défini par l'inégalité aiy<b). Alors l'intégrale z.(x,y) 



pourra se développer dans le domaine défini parles inégalités |a? — a^oKp", 

 a^ySb (p sera défini ci-dessous) dans une série de la forme 



(2) z{x,y)=2^ , ^^ {x~.io) + _>j iïïTTTT ^ °^ ' 



« = (I '1=0 



où ?0')1= =(':*'o, v)J et 'Kj) = " ,u. '^ ^o""- ^^^''^ fonctions qui satis- 

 font aux conditions : 



1. Elles ont des dérivées continues de tous les ordres dans l'intervalle 

 a ^y ^ b . 



II. Ces dérivées satisfont aux inégalités 



M h II M |2 II 



(3) I ?""(/) I<^r=' i'l""(/)|<-^' 



où M et p sont deux constantes positives indépendantes de y situé dans 

 ledit intervalle (-). 



Une fonction /( 7 ) qui, par rapport à un intervalle a'Sy^b, remplit les 

 conditions I et II sera appelée dans la suile une fonction de l'espèce 9(7) par 

 rapport à l'intervalle. 



2. Considérons le domaine ABCD limité par deux segments de droite 

 parallèles à l'axe des a;, AB(jk= a) et CD(j = b, h^a), et deux arcs de 



(') Présentée dans la séance du 16 décembre 1907. 



(-) Voii- irldv for Malematik, t. I, III el IV, 1904-1907, Stockholm. 



