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courbe AC cl BD définis par les équations j; = y, (j) et a'^-/o(y), 

 "" 7.1 (»' /.sCj)' X'i (j); X-Cj) sont continues et -/..(j) > /, (j) dans l'in- 

 tervalle a'^y'^b. 



Posons le problème de former une intégrale z(x,y) de (i) régulière 

 à l'intérieur de ABCD qui, sur chacune des courbes AC et BD, satisfait 

 à une condition d'une des trois formes 



[/U) ^'- [^OO étant des fonctions données admettant des dérivées con- 

 tinues du premier ordre], et qui sur CD se réduit à une fonction donnée qui 

 concorde avec les autres données aux points C et D. Sans nuire à la géné- 

 ralité nous pouvons supposer que cette dernière fonction soit égale à zéro. 

 Formons l'intégrale 



|.i--y,ir,il= _ [.r--x.(ïlil' 



' <I»,(r;)— _-fl'-fl-h / , dn. 



\i'y — -r\ J„ si y — -ri 



On peut toujours déterminer les fonctions $,(j) et $2(v), de sorte 

 que 3(.r, j) représente la solution de notre problème. On est conduit à dé- 

 terminer ces fonctions par un système d'équations intégrales du type de 

 M. Volterra (1'). 



A l'aide de ces résultats on arrive à démontrer l'existence et à donner 

 des expressions pour les fonctions de Green qui correspondent à nos pro- 

 blèmes. La méthode de Riemann devient alors applicable. La démonstration 

 des résultats qui sont contenus dans les numéros suivants reposent sur les 

 formules qu'on obtient ainsi dans un cas limite (où l'une des courbes 

 tend vers l'infini). 



3. Soit z(^œ,y) une intégrale régulière définie dans un domaine F; soient 

 AB un ai'C de contour de ce domaine et F, un domaine limitrophe à F le long 

 de AB. Si l'on sait trouver une intégrale z^ (jt, y) régulière à l'intérieur du 

 domaine F -H F, et qui coïncide avec z{x,y) dans F, nous dirons quer.(cr, y) 

 esl prolongeable au delà de l'arc AB. 



Supposons que l'arc AB soit défini par l'équation ce = /Xj)) où /(j) est 

 une fonction holomorphe quand a'^y^b. Alors la condition nécessaire et 



(•) \o\r Arkiv for Matemalik, t. III, 1906; t. IV, 1907. 



