SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. l4oi 



suffisante pour que z(x,y) soit prolongeable au delà de l'arc AB est que 

 les valeurs que prend z(x,y) sur chaque arc intérieur A'B' de 



kB{a'<ySb\a'>a, 1/ <:b) 



dèfînissent une fonction de l'espèce o{Y)pc{r rapport à l'intervcdle a"Sy1îb'. 

 4. A l'aide des résultats précédents on arrive à résoudre le problème de 

 Cauchy [pris dans le sens de M. Hadamard (')] pour une courbe réguliè- 

 rement analytique x ^ y (y) de l'espèce du numéro précédent, c'est-à-dire à 

 trouver les conditions pour qu'il existe une intégrale -(.r,^) de (1) définie 



d'un côté de la courbe ^ = x(jk) et telle que ^(j;,/) et — , ]' tendent 



respectivement vers des fonctions données /"(y) et gi^y)- Si /(y) est une 

 fonction donnée quelconque qui admet une dérivée continue, on trouve que 

 ^(j) doit nécessairement avoir la forme (et cela suffit aussi) 



où *I>(_v) est défini par l'équation intégrale résolue par M. Volterra 



et '•J^(y) est une /onction arbitraire de l'es/ièce '^(y) pcir rapport à chaque in- 

 tervalle à l'intérieur de l'intervalle en question ('). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la définition de l'aire d' une portion de sur- 

 face courbe. Note de M. E. Cartajî, présentée par iNl. Emile Picard. 



Dans les définitions habituellement données de l'aire d'une portion de 

 surface courbe continue (et admettant un plan tangent variant d'une manière 

 continue), on fait intervenir des sommes de parallélogrammes situés dans 

 des plans tangents à la surface. Il semblerait plus naturel de considérer, 

 par analogie avec ce qu'on fait dans la définition de la longueur d'un arc de 

 courbe, des sommes d'aires de triangles inscrits dans la surf ace. Il est, en effet. 



(') Princeton Unuersity Bulletin. 1902, al Joamnl de Physique, 1907. 

 (^) Dans les Noies citées au n" 1 j'avais résolu noire problème dans le cas spécial 

 X(y) = consl. 



