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possible de procéder ainsi, mais à la condition de prendre nne précaïUion 



essentielle qui me parait devoir être signalée. 



I. Pour poser le problème d'une manière précise, définissant une sur- 

 face (S) par les formules 



(r) 7 = ?("' '')' 



( 5 = '];((/, «'), 



où les coordonnées rectangulaires (x, y, z) d'un point de la surface sont 

 exprimées en fonction de deux paramètres u et <■, que rien ne nous empêche 

 de regarder comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan. 

 Nous supposerons les fonctions/, ç, ^ continues dans un domaine borné (Dj 

 de ce plan, et admettant dans ce domaine des dérivées partielles du premier 

 ordre continues. A tout ensemble de points quarraiile (E) contenu dans (D) 

 correspond sur la surface (S) un ensemble de points qui constitue une por- 

 tion de surface (^). 



Pour définir l'aire de {s), décomposons le plan des (m, v) en 

 triangles abc et considérons ceux de ces triangles dont les trois sommets 

 appartiennent à Tensemble (E). Les points A, B, C de la portion de sur- 

 face (*) que les formules (i) font correspondre auxjpoints a, />, c sont les 

 sommets d'un triangle inscrit dans {s). Nous considérerons la somme S des 

 aires de tous ces triangles ABC inscrits dans {s). 



Donnons-nous enfin un angle a aussi petit que nous voulons, mais fixé une 

 fois pour toutes. 



Cela étant, l'intégrale double 



-/.(Vt^ 



D(H, r) 



£>(./; 9) 



du dy, 



D(«, r)_ 



étendue à l'ensemble (E) du plan des (m, e), jouit de la propriété sui- 

 vante : 



A tout nombre positif i on peut faire correspondre un nombre h tel que, si 

 l'on décompose d'une manière quelconque le plan des (u, r) en triangles abc 

 dont chacun soit de diamètre (' ) inférieur à h et, de plus, ait l'un au moins de 



C) Le diamètre d'un triangle dont les, sommets ont pour coordonnées («,, c, 

 («5, (',), (^3, i'3J sera la plus grande des six quantités 



\Ui-Uj\, |r,-iv| ((-,>=!, 2, 3). 



