SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE I907. I/joS 



ses angles compris entre cf. et -r: — y.^la somme V des aires de ceux ries triangles 



correspondants ABC qui sont inscrits dans (s) diffère de I de moins de e. 



L'intégrale double I est donc la limite de la somme ^ lorsqu'on consulèrc 



une suite de décompositions du plan des (u, v) satisfaisant à la condition que 

 le plus grand diamètre des triangles tende vers zéro cl que chaque triangle ait 

 un angle au moins compris entre % et 7: — a. Kllc représente ainsi tont natu- 

 rellement ce qu'il convient d'appeler Vaire de la portion de sur/ace (s). 



II. Si on laissait de côté la condition (pie chaque triangle abc doit avoir 

 un angle compris entre a et r: — a, le théorème serait faux. 



Considérons, par exemple, la calotte sphérique définie par les équations 



OÙ U et V sont assujettis à l'inégalité 



II'- -h f^ia^< ]{-. 



Décomposons le plan des (u, c) en triangles isoscèles tous égaux entre 

 eux et ayant leurs hases parallèles; si la hauteur est infiniment petite du 



troisième ordre par rap[)ort à la base, la somme T! des aires de ceux des 



triangles correspondants qui sont inscrits dans la calotte sphérique aug- 

 mente iniléfiniment quand la base commune des triangles tend vers zéro. 



On doit cependant ajouter la remarque importante suivante : £ étant 

 donné, si tous les triangles abc sont de diamètre inférieur à un nombre h 



suffisamment petit, la somme V correspondante est certainement supè- 



l'ieure à 1 —£('). 



III. Cette remarque permettrait de donner de l'aire de (5) la définition 

 suivante, où n'intervient plus l'angle a : 



Soit 3{h) la borne inférieure de l'ensemble des sommes ^ correspondant 



aux différentes décompositions du plan de (u, v) en triangles tous de diamètre 

 inférieur ou égal à h. L'aire de [s) est la limite de S{li) quand h tend vers 

 zéro. 



Cette définition pourrait, semble-t-il, être étendue aux surfaces simple- 

 ment continues, obtenues en supposant que, dans les formules (i), les fonc- 



(') Voir, siii- ce point paiiicullur, l'«. Bairh, Leçons sur les théories générales de 

 r Analyse, l. I, 1907, p. 210. 



