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lions continues /, ç, ^ n'admettent pas de dérivées partielles du premier 

 ordre continues. La portion de surface (s) aurait alors une aire si, pour 

 chaque valeur de h, §{h) était finie, et si, de plus, S{h) n'augmentait pas 

 indéfiniment quand h tend vers zéro. Mais il faudrait montrer que, si {s) 

 et (*') sont deux portions de la surface (S) admettant chacune une aire et 

 n'ayant aucun point commun, la portion {s" ) formée par l'ensemble des 

 points de {s) et de {s') admet encore une aire égale à la somme des deux 

 premières ; or cela n'est pas évident. 



IV. Le théorème fondamental énoncé dans cette Note se démontre 

 immédiatement à l'aide du lemme suivant, facile lui-même à démontrer. 



Faisons correspondre à tout point de coordonnées rectangulaires («, c) 

 appartenant à un certain domaine borné (D) du plan des (m, c) le point 

 du plan des (jc, y) dont les coordonnées rectangulaires sont définies ])ar les 

 formules 



■3"=/("i ''). 



j' = œ ( ;/, r), 



les fonctions/et o étant continues dans (D) et admettant dans (D) des 

 dérivées partielles du premier ordre continues. A tout nombre t ou peut 

 faire correspondre un nombre h tel que, si abc est un triangle quelconque 

 du plan des (?/,('), ayant ses trois sommets dans(D), ayant un diamètre 

 inférieur à h et ayant au moins un angle compris entre a et- — c, on a 

 l'inégalité (où les aires ont un signe) 



aire ABC / D (/, y) ', 1 



aire abc 



< £ 



On a désigné par ( ■=- • '"^ ) lavalctir du déterminant fonctionnel de /"et o 



pour un (juelconquc des sommets du triangle abc. 



Ce lemme, susceptible d'extension facile dans le cas d'un nombre quel- 

 conque de variables, permettrait de faire simplement la théorie du change- 

 ment de variables dans les intégrales multiples. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonclions inverses (les fondions entières. 

 Note de M. Pierre Iîoutroux, présentée par M. Painlevé. 



J'ai énoncé {Comptes rendus, 28 octobre 1907) quelques résultats relatifs 

 aux singularités transcendantes de la fonction cc(Y.), inverse d'une fonction 



