SÉANCE DU 3o DÉCEMBRE 1907. I '107 



entière Y {ce). J'ai dit que ces singularités étaient (du point de vue d'une 

 classification que j'ai donnée ailleurs) des singularités de première espèce. 

 Je voudrais aujourd'hui analyser d'un peu plus près ces singularités ainsi 

 que les propriétés correspondantes de Y (x). 



i. Les langues; leur classification. — Soit yj une singularité transcen- 

 dante de oc(Y); il existe, dans le plan des x, une infinité de chemins conti- 

 gus, d, s'éloignant vers l'infini et sur les({uels Y tend vers /]. Faute d'un 

 terme meilleur, j'ai appelé langue l'ensemlile des chemins d contigus. J'ap- 

 pellerai, pour préciser, langue finie toute langue dans laquelle Y tend vers 

 une limite finie vi, et Langue infinie toute langue où Y devient infinie. Cela 

 posé, nous distinguerons les types de langues suivants : 



Premier type. — Langue 4^ dans laquelle ^ tend vers y) en s'enroulant un 

 nombre arbitraire de fois (fini ou infini) autour de ce point, mais sans tour- 

 ner (') autour d'une infinité de points critiques algébriques convergeant 

 vers Y] . Dans une telle langue il existe une infinité de chemins infinis d le long 

 desquels Y passe parles mêmes valeurs (suit, par exemple, un même rayon 

 aboutissant en ïj). — Dans ces conditions, le jiointïj est j)our la fonction :r^(Y) 

 un des points que j'ai appelés points directement et non indirectement cri- 

 tiques (^).Un tel point n peut être point limite de points critiques algébriques 

 en même temps que point logarithmique ; mais alors les permutations opérées 

 autour des points critiques algébriques consliluent des impasses (en d'autres 

 termes on ne peut, au voisinage de yj, obtenir une infinité de déterminations x 

 nouvelles à moins de décrire directement autour de yj la suite infinie de tours 

 qui effectue les permutations définissant r\ comme point logarithmique). 



Deuxième type. — Langue 4^ dans laquelle Y ne peut tendre vers le 

 point T^ à moins de s'enrouler une infinité de fois autour de ce point en tour- 

 nant autour d'une infinité de points cri ti(pies algébriques convergeant vers ï]. 

 Dans une telle langue il existe une infinité de chemins infinis d le long des- 

 quels Y passe par les mêmes valeurs (suit, par exemple, une même spirale 



(') Précisons ce que nous erUendons par « tourner autour d'un point critique Yjy » 

 Soit r un cercle de centre r; qui ne contienne aucun point transcendant autre que yj. 

 Je suppose que, d'une manière quelconque, on ait construit un système de coupures 

 joignant au contour F les points critiques situés dans F, ces coupures ne s'enroulant 

 pas une infinité de fois autour d'un de leurs points et ne se coupant pas entre elles. 

 Tourner autour de r)y, c'est décrire un lacel fermé qui franchisse une fois la coupure rjy 

 et ne rencontre aucune autre coupure. 



(^) Leçons sur les fondions déjinies par les éi/uations différentielles du premier 

 ordre. 



C. R., 1907, 2- Semestre. (T. CXLV, N» 27.) iBo 



