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 MATHEMATIQUES. 



Supplément à la théorie des solutions particulières des équations 

 différentielles , par le C. Lacroix. 

 Soc. piiiLOM. Je suppose dans ce qui suit que l'on connaisse la marche et les résultats du 

 mémoire que le G. Lagrarige a fait insérer parmi ceu.\ de l'académie de Berlin 

 (année 1774). J'appolle , avec les CC. Laplace etMorige, solution particulière ca 

 que le C. Lagrange nomme intégrale particulière , parce qu'il m'a paru que cette 

 dernière dénomination ne convenoit qu'aux différens cas que fournit l'intégrale 

 complète, lorsqu'on assigne diverses valeurs aux constantes arbitraires. Cela posé , 

 soient t^ := o et ('' — o , deux équations entre les trois varia!)les x , y , z ; il résulte 

 de ce système d'équations , que deux quelconques des variables sont des fonctions 

 de la troisième , et des constantes qui peuvent se trouver dans les équations pro- 

 posées : si donc l'on différentie ces équations et que l'on y tasse ensuit» 

 dz=:pdx, dy—qdx, on aura 



d^ d V d V dv' d v' d v' 



-uTP-^-dji^-d^^''' -7i-^+-<r7+-rf7- = °- 



Maintenant on peut entre les équations v :^ o , v' — o, et leurs différentielles," 

 éliminer trois des constantes qu'elles contiennent ; le résultat sera une équation 

 différentielle du premier ordre, que nous représenterons par d7,= o, dans la- 

 quelle les différentielles se trouveront élevées à des puissances supérieures à la 

 première , et qui , ne satisfaisant pas aux équations de condition d'où dépend 

 l'intégrabilité dans le cas de 3 variables , ont été désignées fort improprement , 

 sous le nom d'équations absurdes. Le citoyen Monge a fait voir le premier qu'elles 

 expriment toujours une infinité de courbes, douées souvent de propriétés miéres» 

 santés, et que leur intégrale comporte nécessairement deux éijuaiions, ainsi que 

 nous venons de le prouver par leur formation. 11 e^t facile de voir qu'une équa- 

 tion de cette nature peut dériver d'un nombre infini de systèmes d équation . es- 

 sentiellement différens; mais ce qui mérite attention, c'est que souvent on peuï 

 parvenir à un système d'équations qui, renfermant une fonction arbitraire, com- 

 prenne lui-même toutes les intégrales où il n'entre que des constantes. Celte vé- 

 rité , que le citoyen Monge avait prouTee par des considérations géométriques , 

 très-élégantes, est, ainsi qu'on va le voir, une conséquence immédiate de I4 

 théorie des solutions particulières. 

 En effet les équations différentielles 



dv d^ dv di,' d,' dv' 



-dTP-^-dyi + -dT^''' -iii-P + -dyi + -Tr=''' 



n'ont pas seulement lieu dans la suppoiition que les quantités éliminées, que 

 nous désignerons par a , h , et c , soient des constantes ; mais elles sont encore 

 vraies, lorsque ces quantités varieront, pourvu qu'on ait 



— — ^a + — TT-fl^ -t--j — dc — 0, —, — ■ da -\. , , db -t---. — dc^O. 



da ^^ d l ^^ d c ' d a ' d b 'de 



On peut satisfaire à ces équations de aS manières différentes , «en regardant les 

 quantités a, b , c , comme variables ; nous n'en rapporterons ici que deux : la 

 première a lieu lorsqu'on suppose 



d V dv _ d y 



da ' d b ' ' de ' 



la seconde en considérant les équations 



du, d V j 7 d " j at'j "*'j7 "' 7 » 



— — da ^ __do_l ; — dc — o, —, — d a + —rr- d b + -:} — ac — ^t 



(la ^^ d b de da ^^ d b ^^ A ^ 



somme devant servir à déterminer o, b, c, eax,j^, z,\ 



