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 Lorsque les C premières équat'ons pouvent s'accorder enfr'elles , et quecleplu» 

 leur co-existence réiUiit les deux é:[uarioiis i> = o, ei i'' = o, à une seule , on a alors 

 une soin tioiipartioiilièredel équar.ion r/Z=o, très-remarqnalile puisqu'elle appartient 

 à uae surface courbe. Dans le second cas, on peut envisager deux des quantités 

 a, b , et c , comme une fonction de Li Z'^. , et si sous ce point de vue on sup» 

 pose b = <p faj , c = \\r (aj , on tx , au lieu de l'équalion JZ = o , un système d'équa- 

 tions composé des quatre suivantes 



, el f d i> , ri V , , d %'' d v' d c' , , 



'' = °' ^ = °' -7^+-wï- * ("^ + -d— -^^'^ ^°^ inr-^-dir ^^"^ + "tt" ^^"^ = ° ' 



dans lesquelles (p' (n) =. — ^ ' , et ainsi des autres. Toutes les fois que de ces 



quatre équations il sr-ra po,!,ible d éliminer la fonction -^ (a) et ses différentielles, 

 en n'employant qu'une seule t'qjation , on parviendra à un système de trois équa- 

 tions contenant une fonction arbrtraire (^ (a) , et donnant autant d'intégrales par- 

 ticulières de la proposée qu'on asrignera de formes diverses à cette fonction. 

 L'exemple suivant éciaircira ce qui précède. Soit l'équation 



(jdx — 3^dj)- -f- (zdx —xdz)- -{-(jd z ~ zdj)- — m- (d z- -\- d x- -\- d y'^) 



déjà traitée par le citoyen Monge ( Mém. acad. 1784 Paris ) ; on trouve d'abord 

 qu'elle peut dériver du système déquation 



ax -\- b y + z \/(m- — a- — b-) rr ;n- , x — a rr c (y — b) , 



dans lequel les constantes a,b , et c, sont introduites par l'intégration. 



En traitant ces quantités comme des variables , on aura les équations suivantej 



z(ada + bdb) , ,, 



xda +Ydb — H- =0, —da — (Y — b)dc — c db; 



^•^ y'(m- —a- — h-) -^ 



ces deux dernières , jointes à celles dont elles sont tirées , représentent le sys- 

 tème des 4 équations désigné ci-dessus. Si on égale séparément à zéro les coéf» 

 Eciens de ida et de db dans la première, on trouvera 



«j b_z 



^(„r- -. u- — t-) '^~ ^(,ni —a- — b-) '' 



Substituant cette valeur dans la première des intégrales , il viendra 



;: r= s/(m^ — a- — b-) , 



d'où c — x, b=y, valeurs qui rendent la seconde intégrale identique, et qui 

 satisfont encore à — da—(j—b)dc — cdb, puisque cette équation se réduit à 

 d a ^= cdb , ou à dx = cdy et rentre par conséquent dans ^ — a = cCjy — bj. Il 

 est donc évident que lorsrpi'on prend a =x, b =y , les équations v =^ o , 

 tj'=o, et leurs diftérentielies se réduisent à une seule: savoir, 



X- -{- J- ■+■ z \^(in- — X- — J-) =:m- , ou z = y/Cm- — x- — y-). 



Cette équation, qui appartient à la sphère, ne renferme aucune constante arbi- 

 traire, et offre une solution particulière de la proposée, qu'il était d'ailleurs fa- 

 cile de déduire des considéialions : éoraétriques. 



Si dans le système des quatre éqsations que nous avons donné plus haut, 

 coiume équivfdent à la proposée, on fait b = (p(a)^ cz=^('aj, il ne paraîtra pas 

 possible de réduire ces 4 équations à 5 ; mais on y parviendra en changeant la 

 forme des constantes arbitraires , en faisant 



c = a' \/(m^ — a- — b'-) , b = b' s/Cm- — a- — b-J , 

 d'où il suit \/Cm- — a- — b-J 



v/ri + «'- -t- i'-;' 

 On aura alors les équations 



, , , , , , ®' "^ ^ b' m y^ 



