( ^< ) 



dans laquelle 



w(x) = l.r — -I logx — X, 



=/ 



—(h 



et 



I .^2... (/< H- I) 



1 . ^2 ... « 



j-(x 1- 1) ...(x H- n) 



Il s'est servi de cette formule pour retrouver une série 

 de Binet (*), qui donne le développement, en série con- 

 vergente, de 2^ ' logx, en complétant cette formule par 

 l'expression d'un reste. 



Mais, dans l'intégration aux différences finies qui devait 

 le conduire de l'équation (1) à l'expression de 2^ 'og .x, 

 il a négligé de déterminer la constante, ou bien de fixer 

 les limites des sommes qui entrent dans la formule finale, 

 ce qui rend cette dernière, sinon inexacte, du moins très- 

 peu précise. En outre il a admis, comme évidentes, cer- 

 taines propriétés qu'il peut être utile dé démontrer, pour ne 

 laisser aucun doute sur l'exactitude de la série obtenue. 



La présente note a pour objet principal de compléter, 

 sous ces divers rapports, celle de M. Genocclii. 



Dans le courant de la démonstration, je rencontre un 

 certain nombre de formules reliant entre elles des inté- 

 grales définies, ou des sommes d'intégrales définies. 



2. Si, dans (1), on remplace successivement x par 



(*) Journal de l'École polytechnique, 27« cahier, pp. "35 cl 530. 



